Theorem iinuni 2036

Description: A relationship involving union and indexed intersection. Exercise 23 of [Enderton] p. 33.

Assertion

Ref	Expression
iinuni	⊢ (A ∪ ∩B) = ∩x ∈ B (A ∪ x)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem iinuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.32v 1297	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ B (y ∈ A ∨ y ∈ x) ↔ (y ∈ A ∨ ∀x ∈ B y ∈ x))
2		elun 1601	. . . . 5 ⊢ (y ∈ (A ∪ x) ↔ (y ∈ A ∨ y ∈ x))
3	2	biral 1223	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ B y ∈ (A ∪ x) ↔ ∀x ∈ B (y ∈ A ∨ y ∈ x))
4		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
5	4	elint2 1972	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ∩B ↔ ∀x ∈ B y ∈ x)
6	5	orbi2i 214	. . . 4 ⊢ ((y ∈ A ∨ y ∈ ∩B) ↔ (y ∈ A ∨ ∀x ∈ B y ∈ x))
7	1, 3, 6	3bitr4r 159	. . 3 ⊢ ((y ∈ A ∨ y ∈ ∩B) ↔ ∀x ∈ B y ∈ (A ∪ x))
8		elun 1601	. . 3 ⊢ (y ∈ (A ∪ ∩B) ↔ (y ∈ A ∨ y ∈ ∩B))
9		eliin 1999	. . . 4 ⊢ (y ∈ V → (y ∈ ∩x ∈ B (A ∪ x) ↔ ∀x ∈ B y ∈ (A ∪ x)))
10	4, 9	ax-mp 6	. . 3 ⊢ (y ∈ ∩x ∈ B (A ∪ x) ↔ ∀x ∈ B y ∈ (A ∪ x))
11	7, 8, 10	3bitr4 158	. 2 ⊢ (y ∈ (A ∪ ∩B) ↔ y ∈ ∩x ∈ B (A ∪ x))
12	11	cleqri 1101	1 ⊢ (A ∪ ∩B) = ∩x ∈ B (A ∪ x)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Vcvv 1348   ∪ cun 1485  ∩cint 1965  ∩ciin 1995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-un 1490  df-int 1966  df-iin 1997

metamath.org