Theorem imai 2613

Description: Image under the identity relation. Theorem 3.16(viii) of [Monk1] p. 38.

Assertion

Ref	Expression
imai	⊢ (I “ A) = A

Proof of Theorem imai

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima3 2605	. 2 ⊢ (I “ A) = {y∣∃x(x ∈ A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ I)}
2		df-br 2063	. . . . . . . 8 ⊢ (xIy ↔ ⟨x, y⟩ ∈ I)
3		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ x ∈ V
4		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
5	3, 4	ideq 2127	. . . . . . . 8 ⊢ (xIy ↔ x = y)
6	2, 5	bitr3 153	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ I ↔ x = y)
7	6	anbi2i 367	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ I) ↔ (x ∈ A ∧ x = y))
8		ancom 333	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ x = y) ↔ (x = y ∧ x ∈ A))
9	7, 8	bitr 151	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ I) ↔ (x = y ∧ x ∈ A))
10	9	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ I) ↔ ∃x(x = y ∧ x ∈ A))
11		eleq1 1149	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x ∈ A ↔ y ∈ A))
12	4, 11	ceqsexv 1371	. . . 4 ⊢ (∃x(x = y ∧ x ∈ A) ↔ y ∈ A)
13	10, 12	bitr 151	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ I) ↔ y ∈ A)
14	13	biabi 1181	. 2 ⊢ {y∣∃x(x ∈ A ∧ ⟨x, y⟩ ∈ I)} = {y∣y ∈ A}
15		abid2 1186	. 2 ⊢ {y∣y ∈ A} = A
16	1, 14, 15	3eqtr 1123	1 ⊢ (I “ A) = A

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057   “ cima 2413

This theorem is referenced by:  rnresi 2614  ecidsn 3224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org