Theorem imainss 2649

Description: An upper bound for intersection with an image. Theorem 41 of [Suppes] p. 66.

Assertion

Ref	Expression
imainss	⊢ ((R “ A) ∩ B) ⊆ (R “ (A ∩ (◡R “ B)))

Proof of Theorem imainss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.8a 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ B ∧ y◡Rx) → ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx))
2		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ y ∈ V
3		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ x ∈ V
4	2, 3	brcnv 2519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y◡Rx ↔ xRy)
5	1, 4	sylan2br 348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ B ∧ xRy) → ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx))
6	5	ancoms 334	. . . . . . . 8 ⊢ ((xRy ∧ y ∈ B) → ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx))
7	6	anim2i 270	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ (xRy ∧ y ∈ B)) → (x ∈ A ∧ ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx)))
8		pm3.26 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((xRy ∧ y ∈ B) → xRy)
9	8	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ (xRy ∧ y ∈ B)) → xRy)
10	7, 9	jca 236	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A ∧ (xRy ∧ y ∈ B)) → ((x ∈ A ∧ ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx)) ∧ xRy))
11	10	anassrs 338	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ A ∧ xRy) ∧ y ∈ B) → ((x ∈ A ∧ ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx)) ∧ xRy))
12		elin 1635	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (A ∩ (◡R “ B)) ↔ (x ∈ A ∧ x ∈ (◡R “ B)))
13	3	elima2 2607	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ (◡R “ B) ↔ ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx))
14	13	anbi2i 367	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A ∧ x ∈ (◡R “ B)) ↔ (x ∈ A ∧ ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx)))
15	12, 14	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ (A ∩ (◡R “ B)) ↔ (x ∈ A ∧ ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx)))
16	15	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ (A ∩ (◡R “ B)) ∧ xRy) ↔ ((x ∈ A ∧ ∃y(y ∈ B ∧ y◡Rx)) ∧ xRy))
17	11, 16	sylibr 175	. . . 4 ⊢ (((x ∈ A ∧ xRy) ∧ y ∈ B) → (x ∈ (A ∩ (◡R “ B)) ∧ xRy))
18	17	19.22i 723	. . 3 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ xRy) ∧ y ∈ B) → ∃x(x ∈ (A ∩ (◡R “ B)) ∧ xRy))
19	2	elima2 2607	. . . . 5 ⊢ (y ∈ (R “ A) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ xRy))
20	19	anbi1i 368	. . . 4 ⊢ ((y ∈ (R “ A) ∧ y ∈ B) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ xRy) ∧ y ∈ B))
21		elin 1635	. . . 4 ⊢ (y ∈ ((R “ A) ∩ B) ↔ (y ∈ (R “ A) ∧ y ∈ B))
22		19.41v 963	. . . 4 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ xRy) ∧ y ∈ B) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ xRy) ∧ y ∈ B))
23	20, 21, 22	3bitr4 158	. . 3 ⊢ (y ∈ ((R “ A) ∩ B) ↔ ∃x((x ∈ A ∧ xRy) ∧ y ∈ B))
24	2	elima2 2607	. . 3 ⊢ (y ∈ (R “ (A ∩ (◡R “ B))) ↔ ∃x(x ∈ (A ∩ (◡R “ B)) ∧ xRy))
25	18, 23, 24	3imtr4 192	. 2 ⊢ (y ∈ ((R “ A) ∩ B) → y ∈ (R “ (A ∩ (◡R “ B))))
26	25	ssriv 1508	1 ⊢ ((R “ A) ∩ B) ⊆ (R “ (A ∩ (◡R “ B)))

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409   “ cima 2413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org