Theorem imaiun 2650

Description: The image of a union is the union of the images. Theorem 3K(a) of [Enderton] p. 50.

Assertion

Ref	Expression
imaiun	⊢ (A “ ∪B) = ∪x ∈ B (A “ x)

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem imaiun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 1922	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ∪B ↔ ∃x(z ∈ x ∧ x ∈ B))
2	1	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ ∪B ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ (∃x(z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A))
3	2	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃z(z ∈ ∪B ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ ∃z(∃x(z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A))
4		19.41v 963	. . . . . . 7 ⊢ (∃x((z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ (∃x(z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A))
5		anass 336	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ (z ∈ x ∧ (x ∈ B ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
6		an12 370	. . . . . . . . 9 ⊢ ((z ∈ x ∧ (x ∈ B ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)) ↔ (x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
7	5, 6	bitr 151	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ (x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
8	7	biex 733	. . . . . . 7 ⊢ (∃x((z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ ∃x(x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
9	4, 8	bitr3 153	. . . . . 6 ⊢ ((∃x(z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ ∃x(x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
10	9	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃z(∃x(z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ ∃z∃x(x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
11		excom 728	. . . . 5 ⊢ (∃z∃x(x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)) ↔ ∃x∃z(x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
12		exdistr 967	. . . . 5 ⊢ (∃x∃z(x ∈ B ∧ (z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)) ↔ ∃x(x ∈ B ∧ ∃z(z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
13	10, 11, 12	3bitr 155	. . . 4 ⊢ (∃z(∃x(z ∈ x ∧ x ∈ B) ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ ∃x(x ∈ B ∧ ∃z(z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
14		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
15	14	elima3 2608	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ (A “ x) ↔ ∃z(z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A))
16	15	birex 1224	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ B y ∈ (A “ x) ↔ ∃x ∈ B ∃z(z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A))
17		df-rex 1206	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ B ∃z(z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ ∃x(x ∈ B ∧ ∃z(z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)))
18	16, 17	bitr2 152	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ B ∧ ∃z(z ∈ x ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A)) ↔ ∃x ∈ B y ∈ (A “ x))
19	3, 13, 18	3bitr 155	. . 3 ⊢ (∃z(z ∈ ∪B ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A) ↔ ∃x ∈ B y ∈ (A “ x))
20	14	elima3 2608	. . 3 ⊢ (y ∈ (A “ ∪B) ↔ ∃z(z ∈ ∪B ∧ ⟨z, y⟩ ∈ A))
21		eliun 1998	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ B (A “ x) ↔ ∃x ∈ B y ∈ (A “ x))
22	19, 20, 21	3bitr4 158	. 2 ⊢ (y ∈ (A “ ∪B) ↔ y ∈ ∪x ∈ B (A “ x))
23	22	cleqri 1101	1 ⊢ (A “ ∪B) = ∪x ∈ B (A “ x)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ⟨cop 1810  ∪cuni 1919  ∪ciun 1994   “ cima 2413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org