Theorem indstr 4611

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema).

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
indstr.2	⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (y < x → ψ) → φ))

Assertion

Ref	Expression
indstr	⊢ (x ∈ ℕ → φ)

Distinct variable group(s):   x,y   φ,y   ψ,x

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 496	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (φ ∧ ¬ φ)
2		leltt 4278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (x ≤ y ↔ ¬ y < x))
3		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℕ → x ∈ ℝ)
4		nnret 4427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
5	2, 3, 4	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → (x ≤ y ↔ ¬ y < x))
6	5	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((¬ ψ → x ≤ y) ↔ (¬ ψ → ¬ y < x)))
7		pm4.1 143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y < x → ψ) ↔ (¬ ψ → ¬ y < x))
8	6, 7	syl6bbr 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℕ ∧ y ∈ ℕ) → ((¬ ψ → x ≤ y) ↔ (y < x → ψ)))
9	8	biraldva 1215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y) ↔ ∀y ∈ ℕ (y < x → ψ)))
10		indstr.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (y < x → ψ) → φ))
11	9, 10	sylbid 178	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y) → φ))
12	11	anim2d 433	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℕ → ((¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)) → (¬ φ ∧ φ)))
13		ancom 333	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ φ ∧ φ) ↔ (φ ∧ ¬ φ))
14	12, 13	syl6ib 185	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ → ((¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)) → (φ ∧ ¬ φ)))
15	1, 14	mtoi 94	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℕ → ¬ (¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)))
16	15	rgen 1247	. . . . 5 ⊢ ∀x ∈ ℕ ¬ (¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y))
17		ralnex 1209	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ ℕ ¬ (¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)) ↔ ¬ ∃x ∈ ℕ (¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)))
18	16, 17	mpbi 164	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ (¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y))
19		indstr.1	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
20	19	negbid 463	. . . . 5 ⊢ (x = y → (¬ φ ↔ ¬ ψ))
21	20	nnwos 4610	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℕ ¬ φ → ∃x ∈ ℕ (¬ φ ∧ ∀y ∈ ℕ (¬ ψ → x ≤ y)))
22	18, 21	mto 93	. . 3 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ¬ φ
23		dfral2 1211	. . 3 ⊢ (∀x ∈ ℕ φ ↔ ¬ ∃x ∈ ℕ ¬ φ)
24	22, 23	mpbir 165	. 2 ⊢ ∀x ∈ ℕ φ
25	24	rspec 1246	1 ⊢ (x ∈ ℕ → φ)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054  ℝcr 4027   < clt 4033   ≤ cle 4092  ℕcn 4093

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem3 4779

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-le 4277  df-n 4423  df-n0 4535  df-z 4564

metamath.org