Theorem inex1 1697

Description: Separation Scheme (Aussonderung) using class notation. Compare Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 22.

Hypothesis

Ref	Expression
inex1.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inex1	⊢ (A ∩ B) ∈ V

Proof of Theorem inex1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inex1.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2	1	zfaus 1480	. . 3 ⊢ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ A ∧ y ∈ B))
3		dfcleq 1098	. . . . 5 ⊢ (x = (A ∩ B) ↔ ∀y(y ∈ x ↔ y ∈ (A ∩ B)))
4		elin 1635	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (A ∩ B) ↔ (y ∈ A ∧ y ∈ B))
5	4	bibi2i 460	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ x ↔ y ∈ (A ∩ B)) ↔ (y ∈ x ↔ (y ∈ A ∧ y ∈ B)))
6	5	bial 695	. . . . 5 ⊢ (∀y(y ∈ x ↔ y ∈ (A ∩ B)) ↔ ∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ A ∧ y ∈ B)))
7	3, 6	bitr 151	. . . 4 ⊢ (x = (A ∩ B) ↔ ∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ A ∧ y ∈ B)))
8	7	biex 733	. . 3 ⊢ (∃x x = (A ∩ B) ↔ ∃x∀y(y ∈ x ↔ (y ∈ A ∧ y ∈ B)))
9	2, 8	mpbir 165	. 2 ⊢ ∃x x = (A ∩ B)
10	9	issetri 1353	1 ⊢ (A ∩ B) ∈ V

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∩ cin 1486

This theorem is referenced by:  inex2 1698  inex1g 1699  0ex 1745  onfr 2237  ssenen 3399  zfregs 3491  bnd2 3549  kmlem12 3591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-in 1491

metamath.org