Theorem inf4 3473

Description: A standard version of axiom of infinity, expanded to primitives. In English, it says: there exists a set that contains the empty set and the successors of all of its members. See zfinf 3474 to see it converted to abbreviations.

Assertion

Ref	Expression
inf4	⊢ ∃x(∃y(y ∈ x ∧ ∀z ¬ z ∈ y) ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y)))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,w

Proof of Theorem inf4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 2390	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ω
2		peano2 2391	. . . 4 ⊢ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)
3	2	ax-gen 677	. . 3 ⊢ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)
4		axinf 1084	. . . . . 6 ⊢ ∃x(y ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(y ∈ z ∧ z ∈ x)))
5	4	inf2 3459	. . . . 5 ⊢ ∃x(¬ x = ∅ ∧ x ⊆ ∪x)
6	5	inf3 3471	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
7		eleq2 1150	. . . . 5 ⊢ (x = ω → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ω))
8		eleq2 1150	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (y ∈ x ↔ y ∈ ω))
9		eleq2 1150	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ ω))
10	8, 9	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = ω → ((y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)))
11	10	bialdv 935	. . . . 5 ⊢ (x = ω → (∀y(y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)))
12	7, 11	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ (x = ω → ((∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ (∅ ∈ ω ∧ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω))))
13	6, 12	cla4ev 1401	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ω ∧ ∀y(y ∈ ω → suc y ∈ ω)) → ∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)))
14	1, 3, 13	mp2an 520	. 2 ⊢ ∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x))
15		0el 1720	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ x ↔ ∃y ∈ x ∀z ¬ z ∈ y)
16		df-rex 1206	. . . . 5 ⊢ (∃y ∈ x ∀z ¬ z ∈ y ↔ ∃y(y ∈ x ∧ ∀z ¬ z ∈ y))
17	15, 16	bitr 151	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ x ↔ ∃y(y ∈ x ∧ ∀z ¬ z ∈ y))
18		sucel 2296	. . . . . . 7 ⊢ (suc y ∈ x ↔ ∃z ∈ x ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y)))
19		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ x ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y)) ↔ ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y))))
20	18, 19	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (suc y ∈ x ↔ ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y))))
21	20	imbi2i 160	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ (y ∈ x → ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y)))))
22	21	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀y(y ∈ x → suc y ∈ x) ↔ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y)))))
23	17, 22	anbi12i 369	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ (∃y(y ∈ x ∧ ∀z ¬ z ∈ y) ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y))))))
24	23	biex 733	. 2 ⊢ (∃x(∅ ∈ x ∧ ∀y(y ∈ x → suc y ∈ x)) ↔ ∃x(∃y(y ∈ x ∧ ∀z ¬ z ∈ y) ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y))))))
25	14, 24	mpbi 164	1 ⊢ ∃x(∃y(y ∈ x ∧ ∀z ¬ z ∈ y) ∧ ∀y(y ∈ x → ∃z(z ∈ x ∧ ∀w(w ∈ z ↔ (w ∈ y ∨ w = y)))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∅c0 1707  suc csuc 2201  ωcom 2372

This theorem is referenced by:  zfinf 3474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

metamath.org