Theorem infdif 4948

Description: The cardinality of an infinite set does not change after subtracting a strictly smaller one. Example in [Enderton] p. 164.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	⊢ A ∈ V
infunabs.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
infdif	⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → (A ∖ B) ≈ A)

Proof of Theorem infdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domtr 3320	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ A ∧ A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B))) → ω ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
2		infunabs.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ V
3		difexg 1703	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ V → (A ∖ B) ∈ V)
4	2, 3	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∖ B) ∈ V
5	4	cdainf 3731	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ (A ∖ B) ↔ ω ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
6	1, 5	sylibr 175	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ A ∧ A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B))) → ω ≼ (A ∖ B))
7		domrefg 3297	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∖ B) ∈ V → (A ∖ B) ≼ (A ∖ B))
8	4, 7	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (A ∖ B) ≼ (A ∖ B)
9	4, 4	infcdaabs 4947	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ (A ∖ B) ∧ (A ∖ B) ≼ (A ∖ B)) → ((A ∖ B) +c (A ∖ B)) ≈ (A ∖ B))
10	8, 9	mpan2 519	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ (A ∖ B) → ((A ∖ B) +c (A ∖ B)) ≈ (A ∖ B))
11	6, 10	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ A ∧ A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B))) → ((A ∖ B) +c (A ∖ B)) ≈ (A ∖ B))
12		domentr 3326	. . . . . . 7 ⊢ ((A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)) ∧ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)) ≈ (A ∖ B)) → A ≼ (A ∖ B))
13	12	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)) → (((A ∖ B) +c (A ∖ B)) ≈ (A ∖ B) → A ≼ (A ∖ B)))
14	13	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ A ∧ A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B))) → (((A ∖ B) +c (A ∖ B)) ≈ (A ∖ B) → A ≼ (A ∖ B)))
15	11, 14	mpd 46	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ A ∧ A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B))) → A ≼ (A ∖ B))
16		pm3.26 256	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → ω ≼ A)
17		endomtr 3325	. . . . 5 ⊢ ((A ≈ (A ∪ B) ∧ (A ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B))) → A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
18		infunabs.2	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ V
19	2, 18	infunabs 4946	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≼ A) → (A ∪ B) ≈ A)
20	2	ensym 3317	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∪ B) ≈ A → A ≈ (A ∪ B))
21	19, 20	syl 12	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≼ A) → A ≈ (A ∪ B))
22		sdomdom 3290	. . . . . 6 ⊢ (B ≺ A → B ≼ A)
23	21, 22	sylan2 346	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → A ≈ (A ∪ B))
24		omex 3475	. . . . . . . . 9 ⊢ ω ∈ V
25		entri2 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ∈ V ∧ B ∈ V) → (ω ≼ B ∨ B ≺ ω))
26	24, 18, 25	mp2an 520	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≼ B ∨ B ≺ ω)
27		ssun1 1621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ A ⊆ (A ∪ B)
28		ssdomg 3311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∈ V → (A ⊆ (A ∪ B) → A ≼ (A ∪ B)))
29	2, 27, 28	mp2 43	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ A ≼ (A ∪ B)
30	2, 18	unex 1949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∪ B) ∈ V
31		domtri 3644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ V ∧ (A ∪ B) ∈ V) → (A ≼ (A ∪ B) ↔ ¬ (A ∪ B) ≺ A))
32	2, 30, 31	mp2an 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ≼ (A ∪ B) ↔ ¬ (A ∪ B) ≺ A)
33	29, 32	mpbi 164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ (A ∪ B) ≺ A
34		domsdomtr 3374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∪ B) ≼ (B +c B) ∧ (B +c B) ≺ A) → (A ∪ B) ≺ A)
35	4, 18, 18	cdadom1 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∖ B) ≼ B → ((A ∖ B) +c B) ≼ (B +c B))
36	4, 18	uncdadom 3718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A ∖ B) ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c B)
37		domtr 3320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((A ∖ B) ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c B) ∧ ((A ∖ B) +c B) ≼ (B +c B)) → ((A ∖ B) ∪ B) ≼ (B +c B))
38	36, 37	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∖ B) +c B) ≼ (B +c B) → ((A ∖ B) ∪ B) ≼ (B +c B))
39	35, 38	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∖ B) ≼ B → ((A ∖ B) ∪ B) ≼ (B +c B))
40		undif1 1761	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∖ B) ∪ B) = (A ∪ B)
41	39, 40	syl5eqbrr 2090	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∖ B) ≼ B → (A ∪ B) ≼ (B +c B))
42		ensdomtr 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((B +c B) ≈ B ∧ B ≺ A) → (B +c B) ≺ A)
43		domrefg 3297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (B ∈ V → B ≼ B)
44	18, 43	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ B ≼ B
45	18, 18	infcdaabs 4947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ω ≼ B ∧ B ≼ B) → (B +c B) ≈ B)
46	44, 45	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ω ≼ B → (B +c B) ≈ B)
47	42, 46	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ω ≼ B ∧ B ≺ A) → (B +c B) ≺ A)
48	47	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((B ≺ A ∧ ω ≼ B) → (B +c B) ≺ A)
49	34, 41, 48	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∖ B) ≼ B ∧ (B ≺ A ∧ ω ≼ B)) → (A ∪ B) ≺ A)
50	49	ancoms 334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((B ≺ A ∧ ω ≼ B) ∧ (A ∖ B) ≼ B) → (A ∪ B) ≺ A)
51	50	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ≺ A ∧ ω ≼ B) → ((A ∖ B) ≼ B → (A ∪ B) ≺ A))
52	33, 51	mtoi 94	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ≺ A ∧ ω ≼ B) → ¬ (A ∖ B) ≼ B)
53	52	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ≺ A → (ω ≼ B → ¬ (A ∖ B) ≼ B))
54	53	adantl 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → (ω ≼ B → ¬ (A ∖ B) ≼ B))
55	16	adantr 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ B ≺ ω) → ω ≼ A)
56		domsdomtr 3374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ≼ (B +c B) ∧ (B +c B) ≺ ω) → A ≺ ω)
57		endomtr 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ≈ (A ∪ B) ∧ (A ∪ B) ≼ (B +c B)) → A ≼ (B +c B))
58	57, 23, 41	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ (A ∖ B) ≼ B) → A ≼ (B +c B))
59		cdafi 3730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((B ≺ ω ∧ B ≺ ω) → (B +c B) ≺ ω)
60	59	anidms 332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (B ≺ ω → (B +c B) ≺ ω)
61	56, 58, 60	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ (A ∖ B) ≼ B) ∧ B ≺ ω) → A ≺ ω)
62	61	an1rs 373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ B ≺ ω) ∧ (A ∖ B) ≼ B) → A ≺ ω)
63	62	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ B ≺ ω) → ((A ∖ B) ≼ B → A ≺ ω))
64	63	con3d 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ B ≺ ω) → (¬ A ≺ ω → ¬ (A ∖ B) ≼ B))
65		domtri 3644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ω ∈ V ∧ A ∈ V) → (ω ≼ A ↔ ¬ A ≺ ω))
66	24, 2, 65	mp2an 520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ A ↔ ¬ A ≺ ω)
67	64, 66	syl5ib 181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ B ≺ ω) → (ω ≼ A → ¬ (A ∖ B) ≼ B))
68	55, 67	mpd 46	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ A ∧ B ≺ A) ∧ B ≺ ω) → ¬ (A ∖ B) ≼ B)
69	68	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → (B ≺ ω → ¬ (A ∖ B) ≼ B))
70	54, 69	jaod 329	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → ((ω ≼ B ∨ B ≺ ω) → ¬ (A ∖ B) ≼ B))
71	26, 70	mpi 44	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → ¬ (A ∖ B) ≼ B)
72		domtri 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∖ B) ∈ V ∧ B ∈ V) → ((A ∖ B) ≼ B ↔ ¬ B ≺ (A ∖ B)))
73	4, 18, 72	mp2an 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∖ B) ≼ B ↔ ¬ B ≺ (A ∖ B))
74	73	bicon2i 194	. . . . . . 7 ⊢ (B ≺ (A ∖ B) ↔ ¬ (A ∖ B) ≼ B)
75	71, 74	sylibr 175	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → B ≺ (A ∖ B))
76		sdomdom 3290	. . . . . 6 ⊢ (B ≺ (A ∖ B) → B ≼ (A ∖ B))
77	18, 4, 4	cdadom2 3728	. . . . . . 7 ⊢ (B ≼ (A ∖ B) → ((A ∖ B) +c B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
78	40, 36	eqbrtrr 2078	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c B)
79		domtr 3320	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c B) ∧ ((A ∖ B) +c B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B))) → (A ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
80	78, 79	mpan 518	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∖ B) +c B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)) → (A ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
81	77, 80	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (B ≼ (A ∖ B) → (A ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
82	75, 76, 81	3syl 21	. . . . 5 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → (A ∪ B) ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
83	17, 23, 82	sylanc 361	. . . 4 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → A ≼ ((A ∖ B) +c (A ∖ B)))
84	15, 16, 83	sylanc 361	. . 3 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → A ≼ (A ∖ B))
85		difss 1596	. . . 4 ⊢ (A ∖ B) ⊆ A
86		ssdom2g 3312	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → ((A ∖ B) ⊆ A → (A ∖ B) ≼ A))
87	2, 85, 86	mp2 43	. . 3 ⊢ (A ∖ B) ≼ A
88	84, 87	jctil 240	. 2 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → ((A ∖ B) ≼ A ∧ A ≼ (A ∖ B)))
89		sbth 3359	. 2 ⊢ (((A ∖ B) ≼ A ∧ A ≼ (A ∖ B)) → (A ∖ B) ≈ A)
90	88, 89	syl 12	1 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ≺ A) → (A ∖ B) ≈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  ωcom 2372  (class class class)co 3001   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273   +_c ccda 3714

This theorem is referenced by:  alephsuc3 4955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-2o 3105  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-cda 3715  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org