Theorem infmap1 4950

Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Exercise 34 of [Enderton] p. 165.

Hypotheses

Ref	Expression
infunabs.1	⊢ A ∈ V
infunabs.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
infmap1	⊢ (((2o ≼ A ∧ ω ≼ B) ∧ A ≼ B) → (A ↑m B) ≈ (2o ↑m B))

Proof of Theorem infmap1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 3359	. . . . 5 ⊢ (((A ↑m B) ≼ (2o ↑m B) ∧ (2o ↑m B) ≼ (A ↑m B)) → (A ↑m B) ≈ (2o ↑m B))
2		domtr 3320	. . . . . 6 ⊢ (((A ↑m B) ≼ (B ↑m B) ∧ (B ↑m B) ≼ (2o ↑m B)) → (A ↑m B) ≼ (2o ↑m B))
3		infunabs.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ V
4		infunabs.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ V
5	3, 4, 4	mapdom1 3387	. . . . . 6 ⊢ (A ≼ B → (A ↑m B) ≼ (B ↑m B))
6	4	infxpidm 4945	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ B → (B × B) ≈ B)
7		2o 3110	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o ∈ On
8	7	elisseti 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ V
9	8	enref 3295	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ≈ 2o
10	4, 4	xpex 2488	. . . . . . . . 9 ⊢ (B × B) ∈ V
11	8, 8, 10, 4	mapen 3386	. . . . . . . 8 ⊢ ((2o ≈ 2o ∧ (B × B) ≈ B) → (2o ↑m (B × B)) ≈ (2o ↑m B))
12	9, 11	mpan 518	. . . . . . 7 ⊢ ((B × B) ≈ B → (2o ↑m (B × B)) ≈ (2o ↑m B))
13	4	canth2 3381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B ≺ ℘B
14		sdomdom 3290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (B ≺ ℘B → B ≼ ℘B)
15	13, 14	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ B ≼ ℘B
16	4	pw2en 3348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℘B ≈ (2o ↑m B)
17		domentr 3326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ≼ ℘B ∧ ℘B ≈ (2o ↑m B)) → B ≼ (2o ↑m B))
18	15, 16, 17	mp2an 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ B ≼ (2o ↑m B)
19		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2o ↑m B) ∈ V
20	4, 19, 4	mapdom1 3387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ≼ (2o ↑m B) → (B ↑m B) ≼ ((2o ↑m B) ↑m B))
21	18, 20	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ↑m B) ≼ ((2o ↑m B) ↑m B)
22	8, 4, 4	mapxpen 3390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2o ↑m B) ↑m B) ≈ (2o ↑m (B × B))
23		domentr 3326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ↑m B) ≼ ((2o ↑m B) ↑m B) ∧ ((2o ↑m B) ↑m B) ≈ (2o ↑m (B × B))) → (B ↑m B) ≼ (2o ↑m (B × B)))
24	21, 22, 23	mp2an 520	. . . . . . . 8 ⊢ (B ↑m B) ≼ (2o ↑m (B × B))
25		domentr 3326	. . . . . . . 8 ⊢ (((B ↑m B) ≼ (2o ↑m (B × B)) ∧ (2o ↑m (B × B)) ≈ (2o ↑m B)) → (B ↑m B) ≼ (2o ↑m B))
26	24, 25	mpan 518	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ↑m (B × B)) ≈ (2o ↑m B) → (B ↑m B) ≼ (2o ↑m B))
27	6, 12, 26	3syl 21	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ B → (B ↑m B) ≼ (2o ↑m B))
28	2, 5, 27	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((A ≼ B ∧ ω ≼ B) → (A ↑m B) ≼ (2o ↑m B))
29	8, 3, 4	mapdom1 3387	. . . . 5 ⊢ (2o ≼ A → (2o ↑m B) ≼ (A ↑m B))
30	1, 28, 29	syl2an 349	. . . 4 ⊢ (((A ≼ B ∧ ω ≼ B) ∧ 2o ≼ A) → (A ↑m B) ≈ (2o ↑m B))
31	30	ancoms 334	. . 3 ⊢ ((2o ≼ A ∧ (A ≼ B ∧ ω ≼ B)) → (A ↑m B) ≈ (2o ↑m B))
32	31	anassrs 338	. 2 ⊢ (((2o ≼ A ∧ A ≼ B) ∧ ω ≼ B) → (A ↑m B) ≈ (2o ↑m B))
33	32	an1rs 373	1 ⊢ (((2o ≼ A ∧ ω ≼ B) ∧ A ≼ B) → (A ↑m B) ≈ (2o ↑m B))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ℘cpw 1798   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  ωcom 2372   × cxp 2408  (class class class)co 3001  2_oc2o 3100   ↑_m cm 3258   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  alephexp1 4954

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-iso 2439  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-2o 3105  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-map 3259  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-card 3623  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org