Theorem infsdomnn 3426

Description: An infinite set strictly dominates a natural number.

Hypothesis

Ref	Expression
infsdomnn.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
infsdomnn	⊢ ((ω ≼ A ∧ B ∈ ω) → B ≺ A)

Proof of Theorem infsdomnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 3278	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelexi 2447	. . 3 ⊢ (ω ≼ A → ω ∈ V)
3		ensymg 3316	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → (B ≈ ω → ω ≈ B))
4	3	con3d 87	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ V → (¬ ω ≈ B → ¬ B ≈ ω))
5	4	anim2d 433	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ V → ((B ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ B) → (B ≼ ω ∧ ¬ B ≈ ω)))
6		omsdomnn 3424	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ ω → (B ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ B))
7	5, 6	syl5 22	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (B ∈ ω → (B ≼ ω ∧ ¬ B ≈ ω)))
8		brsdom 3286	. . . . 5 ⊢ (B ≺ ω ↔ (B ≼ ω ∧ ¬ B ≈ ω))
9	7, 8	syl6ibr 186	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (B ∈ ω → B ≺ ω))
10		infsdomnn.1	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ V
11		sdomdomtr 3370	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → ((B ≺ ω ∧ ω ≼ A) → B ≺ A))
12	10, 11	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ ((B ≺ ω ∧ ω ≼ A) → B ≺ A)
13	12	exp 291	. . . . 5 ⊢ (B ≺ ω → (ω ≼ A → B ≺ A))
14	13	com12 13	. . . 4 ⊢ (ω ≼ A → (B ≺ ω → B ≺ A))
15	9, 14	syl9 55	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (ω ≼ A → (B ∈ ω → B ≺ A)))
16	2, 15	mpcom 49	. 2 ⊢ (ω ≼ A → (B ∈ ω → B ≺ A))
17	16	imp 277	1 ⊢ ((ω ≼ A ∧ B ∈ ω) → B ≺ A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  ωcom 2372   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  infn0 3427  infxpidmlem1 4933  infxpidmlem12 4944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org