Theorem infxpidmlem10 4942

Description: Lemma for infxpidm 4945. A maximal bijection g in H is non-empty.

Hypotheses

Ref	Expression
infxpidmlem.1	⊢ H = {f∣(f = ∅ ∨ ∃t((ω ≼ t ∧ t ⊆ A) ∧ f:(t × t)–1-1-onto→t))}
infxpidmlem.2	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
infxpidmlem10	⊢ (∀h ∈ H ¬ g ⊂ h → (ω ≼ A → ¬ g = ∅))

Distinct variable group(s):   f,g,h,t,A   g,H,h

Proof of Theorem infxpidmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psseq1 1559	. . . . . . . . 9 ⊢ (g = ∅ → (g ⊂ v ↔ ∅ ⊂ v))
2		0pss 1730	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ⊂ v ↔ ¬ v = ∅)
3	1, 2	syl6bb 414	. . . . . . . 8 ⊢ (g = ∅ → (g ⊂ v ↔ ¬ v = ∅))
4	3	bicon2d 404	. . . . . . 7 ⊢ (g = ∅ → (v = ∅ ↔ ¬ g ⊂ v))
5		psseq2 1560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (h = v → (g ⊂ h ↔ g ⊂ v))
6	5	negbid 463	. . . . . . . . 9 ⊢ (h = v → (¬ g ⊂ h ↔ ¬ g ⊂ v))
7	6	rcla4v 1402	. . . . . . . 8 ⊢ (∀h ∈ H ¬ g ⊂ h → (v ∈ H → ¬ g ⊂ v))
8	7	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((∀h ∈ H ¬ g ⊂ h ∧ v ∈ H) → ¬ g ⊂ v)
9	4, 8	syl5bir 184	. . . . . 6 ⊢ (g = ∅ → ((∀h ∈ H ¬ g ⊂ h ∧ v ∈ H) → v = ∅))
10	9	com12 13	. . . . 5 ⊢ ((∀h ∈ H ¬ g ⊂ h ∧ v ∈ H) → (g = ∅ → v = ∅))
11	10	con3d 87	. . . 4 ⊢ ((∀h ∈ H ¬ g ⊂ h ∧ v ∈ H) → (¬ v = ∅ → ¬ g = ∅))
12	11	exp 291	. . 3 ⊢ (∀h ∈ H ¬ g ⊂ h → (v ∈ H → (¬ v = ∅ → ¬ g = ∅)))
13	12	r19.23adv 1286	. 2 ⊢ (∀h ∈ H ¬ g ⊂ h → (∃v ∈ H ¬ v = ∅ → ¬ g = ∅))
14		infxpidmlem.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ H = {f∣(f = ∅ ∨ ∃t((ω ≼ t ∧ t ⊆ A) ∧ f:(t × t)–1-1-onto→t))}
15		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ v ∈ V
16		visset 1350	. . . . . . . . . . 11 ⊢ y ∈ V
17	14, 15, 16	infxpidmlem3 4935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ω ≼ y ∧ y ⊆ A) ∧ v:(y × y)–1-1-onto→y) → v ∈ H)
18	17	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ y ∧ y ⊆ A) → (v:(y × y)–1-1-onto→y → v ∈ H))
19		f1ofo 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (v:(y × y)–1-1-onto→y → v:(y × y)–onto→y)
20		forn 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (v:(y × y)–onto→y → ran v = y)
21	19, 20	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v:(y × y)–1-1-onto→y → ran v = y)
22	21	cleqcomd 1106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v:(y × y)–1-1-onto→y → y = ran v)
23		rneq 2555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (v = ∅ → ran v = ran ∅)
24		rn0 2567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ran ∅ = ∅
25	23, 24	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = ∅ → ran v = ∅)
26	22, 25	sylan9eq 1144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((v:(y × y)–1-1-onto→y ∧ v = ∅) → y = ∅)
27	26	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v:(y × y)–1-1-onto→y → (v = ∅ → y = ∅))
28	16	infn0 3427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ω ≼ y → ¬ y = ∅)
29	27, 28	nsyli 106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (v:(y × y)–1-1-onto→y → (ω ≼ y → ¬ v = ∅))
30	29	com12 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≼ y → (v:(y × y)–1-1-onto→y → ¬ v = ∅))
31	30	adantr 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≼ y ∧ y ⊆ A) → (v:(y × y)–1-1-onto→y → ¬ v = ∅))
32	18, 31	jcad 455	. . . . . . . 8 ⊢ ((ω ≼ y ∧ y ⊆ A) → (v:(y × y)–1-1-onto→y → (v ∈ H ∧ ¬ v = ∅)))
33	32	19.22dv 947	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ y ∧ y ⊆ A) → (∃v v:(y × y)–1-1-onto→y → ∃v(v ∈ H ∧ ¬ v = ∅)))
34	33	imp 277	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ y ∧ y ⊆ A) ∧ ∃v v:(y × y)–1-1-onto→y) → ∃v(v ∈ H ∧ ¬ v = ∅))
35	34	an1rs 373	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ y ∧ ∃v v:(y × y)–1-1-onto→y) ∧ y ⊆ A) → ∃v(v ∈ H ∧ ¬ v = ∅))
36		endom 3289	. . . . . 6 ⊢ (ω ≈ y → ω ≼ y)
37		omex 3475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ω ∈ V
38	37, 16, 37, 16	xpen 3383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω ≈ y ∧ ω ≈ y) → (ω × ω) ≈ (y × y))
39	38	anidms 332	. . . . . . . . 9 ⊢ (ω ≈ y → (ω × ω) ≈ (y × y))
40		xpomen 4928	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
41	16, 16	xpex 2488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y × y) ∈ V
42		enen1 3375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y × y) ∈ V ∧ (ω × ω) ≈ (y × y)) → ((ω × ω) ≈ ω ↔ (y × y) ≈ ω))
43	41, 42	mpan 518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ω × ω) ≈ (y × y) → ((ω × ω) ≈ ω ↔ (y × y) ≈ ω))
44	40, 43	mpbii 168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω × ω) ≈ (y × y) → (y × y) ≈ ω)
45	39, 44	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≈ y → (y × y) ≈ ω)
46		enen2 3376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ V ∧ ω ≈ y) → ((y × y) ≈ ω ↔ (y × y) ≈ y))
47	16, 46	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≈ y → ((y × y) ≈ ω ↔ (y × y) ≈ y))
48	45, 47	mpbid 170	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≈ y → (y × y) ≈ y)
49	16	bren 3282	. . . . . . 7 ⊢ ((y × y) ≈ y ↔ ∃v v:(y × y)–1-1-onto→y)
50	48, 49	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ (ω ≈ y → ∃v v:(y × y)–1-1-onto→y)
51	36, 50	jca 236	. . . . 5 ⊢ (ω ≈ y → (ω ≼ y ∧ ∃v v:(y × y)–1-1-onto→y))
52	35, 51	sylan 343	. . . 4 ⊢ ((ω ≈ y ∧ y ⊆ A) → ∃v(v ∈ H ∧ ¬ v = ∅))
53	52	19.23aiv 952	. . 3 ⊢ (∃y(ω ≈ y ∧ y ⊆ A) → ∃v(v ∈ H ∧ ¬ v = ∅))
54		infxpidmlem.2	. . . 4 ⊢ A ∈ V
55	54	domen 3284	. . 3 ⊢ (ω ≼ A ↔ ∃y(ω ≈ y ∧ y ⊆ A))
56		df-rex 1206	. . 3 ⊢ (∃v ∈ H ¬ v = ∅ ↔ ∃v(v ∈ H ∧ ¬ v = ∅))
57	53, 55, 56	3imtr4 192	. 2 ⊢ (ω ≼ A → ∃v ∈ H ¬ v = ∅)
58	13, 57	syl5 22	1 ⊢ (∀h ∈ H ¬ g ⊂ h → (ω ≼ A → ¬ g = ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  ωcom 2372   × cxp 2408  ran crn 2411  –onto→wfo 2420  –1-1-onto→wf1o 2421   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272

This theorem is referenced by:  infxpidmlem12 4944

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org