Theorem intss 1983

Description: Intersection of subclasses.

Assertion

Ref	Expression
intss	⊢ (A ⊆ B → ∩B ⊆ ∩A)

Proof of Theorem intss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		syl2 17	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ A → y ∈ B) → ((y ∈ B → x ∈ y) → (y ∈ A → x ∈ y)))
2	1	19.20ii 692	. . . 4 ⊢ (∀y(y ∈ A → y ∈ B) → (∀y(y ∈ B → x ∈ y) → ∀y(y ∈ A → x ∈ y)))
3		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
4	3	elint 1971	. . . 4 ⊢ (x ∈ ∩B ↔ ∀y(y ∈ B → x ∈ y))
5	3	elint 1971	. . . 4 ⊢ (x ∈ ∩A ↔ ∀y(y ∈ A → x ∈ y))
6	2, 4, 5	3imtr4g 426	. . 3 ⊢ (∀y(y ∈ A → y ∈ B) → (x ∈ ∩B → x ∈ ∩A))
7	6	19.21aiv 943	. 2 ⊢ (∀y(y ∈ A → y ∈ B) → ∀x(x ∈ ∩B → x ∈ ∩A))
8		dfss2 1497	. 2 ⊢ (A ⊆ B ↔ ∀y(y ∈ A → y ∈ B))
9		dfss2 1497	. 2 ⊢ (∩B ⊆ ∩A ↔ ∀x(x ∈ ∩B → x ∈ ∩A))
10	7, 8, 9	3imtr4 192	1 ⊢ (A ⊆ B → ∩B ⊆ ∩A)

Syntax hints:   → wi 2  ∀wal 672   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ∩cint 1965

This theorem is referenced by:  rankval3 3525  rankr1id 3539  ranklon 3540  cfub 3703  cflim 3704  cflecard 3707  cfom 3710  hsupss 5310  spanss 5319

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-int 1966

metamath.org