Theorem isfinite1 3425

Description: Omega strictly dominates a finite set. See comment in omsdomnn 3424.

Assertion

Ref	Expression
isfinite1	⊢ (∃x ∈ ω A ≈ x → (A ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ A))

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem isfinite1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omsdomnn 3424	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ω → (x ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ x))
2	1	anim2i 270	. . . . . 6 ⊢ ((A ≈ x ∧ x ∈ ω) → (A ≈ x ∧ (x ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ x)))
3		anandi 392	. . . . . 6 ⊢ ((A ≈ x ∧ (x ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ x)) ↔ ((A ≈ x ∧ x ≼ ω) ∧ (A ≈ x ∧ ¬ ω ≈ x)))
4	2, 3	sylib 173	. . . . 5 ⊢ ((A ≈ x ∧ x ∈ ω) → ((A ≈ x ∧ x ≼ ω) ∧ (A ≈ x ∧ ¬ ω ≈ x)))
5	4	ancoms 334	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ω ∧ A ≈ x) → ((A ≈ x ∧ x ≼ ω) ∧ (A ≈ x ∧ ¬ ω ≈ x)))
6		endomtr 3325	. . . . 5 ⊢ ((A ≈ x ∧ x ≼ ω) → A ≼ ω)
7		entrt 3319	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ω ≈ A ∧ A ≈ x) → ω ≈ x)
8	7	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ≈ A → (A ≈ x → ω ≈ x))
9	8	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ (A ≈ x → (ω ≈ A → ω ≈ x))
10	9	con3d 87	. . . . . 6 ⊢ (A ≈ x → (¬ ω ≈ x → ¬ ω ≈ A))
11	10	imp 277	. . . . 5 ⊢ ((A ≈ x ∧ ¬ ω ≈ x) → ¬ ω ≈ A)
12	6, 11	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((A ≈ x ∧ x ≼ ω) ∧ (A ≈ x ∧ ¬ ω ≈ x)) → (A ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ A))
13	5, 12	syl 12	. . 3 ⊢ ((x ∈ ω ∧ A ≈ x) → (A ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ A))
14	13	exp 291	. 2 ⊢ (x ∈ ω → (A ≈ x → (A ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ A)))
15	14	r19.23aiv 1284	1 ⊢ (∃x ∈ ω A ≈ x → (A ≼ ω ∧ ¬ ω ≈ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   class class class wbr 2054  ωcom 2372   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272

This theorem is referenced by:  unfi2 3442  isfinite 3480

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

metamath.org