Theorem isfinite2 3437

Description: Any set strictly dominated by the class of natural numbers is finite. Sufficiency part of Theorem 42 of [Suppes] p. 151. This theorem does not require the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
isfinite2	⊢ (A ≺ ω → ∃x ∈ ω A ≈ x)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem isfinite2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomex 3315	. . 3 ⊢ (A ≺ ω → (A ∈ V ∧ ω ∈ V))
2	1	pm3.27d 262	. 2 ⊢ (A ≺ ω → ω ∈ V)
3		domeng 3285	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (A ≼ ω ↔ ∃y(A ≈ y ∧ y ⊆ ω)))
4		sdomdom 3290	. . . 4 ⊢ (A ≺ ω → A ≼ ω)
5	3, 4	syl5bi 183	. . 3 ⊢ (ω ∈ V → (A ≺ ω → ∃y(A ≈ y ∧ y ⊆ ω)))
6		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ y ∈ V
7	6	unbnn 3435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ ∀z ∈ ω ∃w ∈ y z ∈ w) → y ≈ ω)
8	7	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ⊆ ω → (∀z ∈ ω ∃w ∈ y z ∈ w → y ≈ ω))
9		sdomnen 3291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ≺ ω → ¬ y ≈ ω)
10	8, 9	nsyli 106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ⊆ ω → (y ≺ ω → ¬ ∀z ∈ ω ∃w ∈ y z ∈ w))
11		ensdomtr 3372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ≈ A ∧ A ≺ ω) → y ≺ ω)
12	6	ensym 3317	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ≈ y → y ≈ A)
13	11, 12	sylan 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ≈ y ∧ A ≺ ω) → y ≺ ω)
14	10, 13	syl5 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ⊆ ω → ((A ≈ y ∧ A ≺ ω) → ¬ ∀z ∈ ω ∃w ∈ y z ∈ w))
15		ordtri1 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((Ord w ∧ Ord z) → (w ⊆ z ↔ ¬ z ∈ w))
16		ssel2 1503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y ⊆ On ∧ w ∈ y) → w ∈ On)
17		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ w ∈ V
18	17	elon 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (w ∈ On ↔ Ord w)
19	16, 18	sylib 173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y ⊆ On ∧ w ∈ y) → Ord w)
20	15, 19	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . .b. . . . 19 ⊢ (((y ⊆ On ∧ w ∈ y) ∧ Ord z) → (w ⊆ z ↔ ¬ z ∈ w))
21	20	an1rs 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((y ⊆ On ∧ Ord z) ∧ w ∈ y) → (w ⊆ z ↔ ¬ z ∈ w))
22	21	biraldva 1215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ⊆ On ∧ Ord z) → (∀w ∈ y w ⊆ z ↔ ∀w ∈ y ¬ z ∈ w))
23		unissb 1941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∪y ⊆ z ↔ ∀w ∈ y w ⊆ z)
24		ralnex 1209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀w ∈ y ¬ z ∈ w ↔ ¬ ∃w ∈ y z ∈ w)
25	24	bicomi 150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ ∃w ∈ y z ∈ w ↔ ∀w ∈ y ¬ z ∈ w)
26	22, 23, 25	3bitr4g 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ⊆ On ∧ Ord z) → (∪y ⊆ z ↔ ¬ ∃w ∈ y z ∈ w))
27		ordunisssuc 2334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ⊆ On ∧ Ord z) → (∪y ⊆ z ↔ y ⊆ suc z))
28	26, 27	bitr3d 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ⊆ On ∧ Ord z) → (¬ ∃w ∈ y z ∈ w ↔ y ⊆ suc z))
29		omsson 2377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ω ⊆ On
30		sstr 1511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ ω ⊆ On) → y ⊆ On)
31	29, 30	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ⊆ ω → y ⊆ On)
32		nnord 2381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ ω → Ord z)
33	28, 31, 32	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ z ∈ ω) → (¬ ∃w ∈ y z ∈ w ↔ y ⊆ suc z))
34		ssnn 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((suc z ∈ ω ∧ y ⊆ suc z) → ∃x ∈ ω y ≈ x)
35		peano2b 2388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ ω ↔ suc z ∈ ω)
36	34, 35	sylanb 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z ∈ ω ∧ y ⊆ suc z) → ∃x ∈ ω y ≈ x)
37	36	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ ω → (y ⊆ suc z → ∃x ∈ ω y ≈ x))
38	37	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ z ∈ ω) → (y ⊆ suc z → ∃x ∈ ω y ≈ x))
39	33, 38	sylbid 178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ z ∈ ω) → (¬ ∃w ∈ y z ∈ w → ∃x ∈ ω y ≈ x))
40	39	exp 291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ⊆ ω → (z ∈ ω → (¬ ∃w ∈ y z ∈ w → ∃x ∈ ω y ≈ x)))
41	40	r19.23adv 1286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ⊆ ω → (∃z ∈ ω ¬ ∃w ∈ y z ∈ w → ∃x ∈ ω y ≈ x))
42		rexnal 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃z ∈ ω ¬ ∃w ∈ y z ∈ w ↔ ¬ ∀z ∈ ω ∃w ∈ y z ∈ w)
43	41, 42	syl5ibr 182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ⊆ ω → (¬ ∀z ∈ ω ∃w ∈ y z ∈ w → ∃x ∈ ω y ≈ x))
44	14, 43	syld 27	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ⊆ ω → ((A ≈ y ∧ A ≺ ω) → ∃x ∈ ω y ≈ x))
45	44	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ (A ≈ y ∧ A ≺ ω)) → ∃x ∈ ω y ≈ x)
46		entrt 3319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ≈ y ∧ y ≈ x) → A ≈ x)
47	46	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ≈ y → (y ≈ x → A ≈ x))
48	47	r19.22sdv 1279	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ≈ y → (∃x ∈ ω y ≈ x → ∃x ∈ ω A ≈ x))
49	48	ad2antrl 322	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ (A ≈ y ∧ A ≺ ω)) → (∃x ∈ ω y ≈ x → ∃x ∈ ω A ≈ x))
50	45, 49	mpd 46	. . . . . . 7 ⊢ ((y ⊆ ω ∧ (A ≈ y ∧ A ≺ ω)) → ∃x ∈ ω A ≈ x)
51	50	exp32 294	. . . . . 6 ⊢ (y ⊆ ω → (A ≈ y → (A ≺ ω → ∃x ∈ ω A ≈ x)))
52	51	com13 33	. . . . 5 ⊢ (A ≺ ω → (A ≈ y → (y ⊆ ω → ∃x ∈ ω A ≈ x)))
53	52	imp3a 279	. . . 4 ⊢ (A ≺ ω → ((A ≈ y ∧ y ⊆ ω) → ∃x ∈ ω A ≈ x))
54	53	19.23adv 954	. . 3 ⊢ (A ≺ ω → (∃y(A ≈ y ∧ y ⊆ ω) → ∃x ∈ ω A ≈ x))
55	5, 54	sylcom 51	. 2 ⊢ (ω ∈ V → (A ≺ ω → ∃x ∈ ω A ≈ x))
56	2, 55	mpcom 49	1 ⊢ (A ≺ ω → ∃x ∈ ω A ≈ x)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∪cuni 1919   class class class wbr 2054  Ord word 2198  Oncon0 2199  suc csuc 2201  ωcom 2372   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272   ≺ csdm 3273

This theorem is referenced by:  unfi2 3442  isfinite 3480  sucdom 3648

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-sdom 3276

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