Theorem iun0 2028

Description: An indexed union of the empty set is empty.

Assertion

Ref	Expression
iun0	⊢ ∪x ∈ A ∅ = ∅

Proof of Theorem iun0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliun 1998	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A ∅ ↔ ∃x ∈ A y ∈ ∅)
2		noel 1711	. . . . . 6 ⊢ ¬ y ∈ ∅
3	2	a1i 7	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → ¬ y ∈ ∅)
4	3	nrex 1270	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x ∈ A y ∈ ∅
5		pm5.21 502	. . . 4 ⊢ ((¬ ∃x ∈ A y ∈ ∅ ∧ ¬ y ∈ ∅) → (∃x ∈ A y ∈ ∅ ↔ y ∈ ∅))
6	4, 2, 5	mp2an 520	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ ∅ ↔ y ∈ ∅)
7	1, 6	bitr 151	. 2 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A ∅ ↔ y ∈ ∅)
8	7	cleqri 1101	1 ⊢ ∪x ∈ A ∅ = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∅c0 1707  ∪ciun 1994

This theorem is referenced by:  om0r 3142  kmlem10 3589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-nul 1708  df-iun 1996

metamath.org