Theorem iunex 2914

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B.

Hypotheses

Ref	Expression
iunex.1	⊢ A ∈ V
iunex.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
iunex	⊢ ∪x ∈ A B ∈ V

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem iunex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunex.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
2	1	dfiun2 2014	. 2 ⊢ ∪x ∈ A B = ∪{y∣∃x ∈ A y = B}
3		iunex.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
4	3	abrexex 2912	. . 3 ⊢ {y∣∃x ∈ A y = B} ∈ V
5	4	uniex 1947	. 2 ⊢ ∪{y∣∃x ∈ A y = B} ∈ V
6	2, 5	eqeltr 1159	1 ⊢ ∪x ∈ A B ∈ V

Syntax hints:  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  Vcvv 1348  ∪cuni 1919  ∪ciun 1994

This theorem is referenced by:  abrexex2 2915  tz9.1 3490  cplem2 3546

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org