Theorem iuniin 2001

Description: Law combining indexed union with indexed intersection.

Assertion

Ref	Expression
iuniin	⊢ ∪x ∈ A ∩y ∈ B C ⊆ ∩y ∈ B ∪x ∈ A C

Distinct variable group(s):   x,y   y,A   x,B

Proof of Theorem iuniin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.12 1281	. . 3 ⊢ (∃x ∈ A ∀y ∈ B z ∈ C → ∀y ∈ B ∃x ∈ A z ∈ C)
2		eliun 1998	. . . 4 ⊢ (z ∈ ∪x ∈ A ∩y ∈ B C ↔ ∃x ∈ A z ∈ ∩y ∈ B C)
3		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
4		eliin 1999	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ V → (z ∈ ∩y ∈ B C ↔ ∀y ∈ B z ∈ C))
5	3, 4	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ∩y ∈ B C ↔ ∀y ∈ B z ∈ C)
6	5	birex 1224	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ A z ∈ ∩y ∈ B C ↔ ∃x ∈ A ∀y ∈ B z ∈ C)
7	2, 6	bitr 151	. . 3 ⊢ (z ∈ ∪x ∈ A ∩y ∈ B C ↔ ∃x ∈ A ∀y ∈ B z ∈ C)
8		eliin 1999	. . . . 5 ⊢ (z ∈ V → (z ∈ ∩y ∈ B ∪x ∈ A C ↔ ∀y ∈ B z ∈ ∪x ∈ A C))
9	3, 8	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (z ∈ ∩y ∈ B ∪x ∈ A C ↔ ∀y ∈ B z ∈ ∪x ∈ A C)
10		eliun 1998	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ∪x ∈ A C ↔ ∃x ∈ A z ∈ C)
11	10	biral 1223	. . . 4 ⊢ (∀y ∈ B z ∈ ∪x ∈ A C ↔ ∀y ∈ B ∃x ∈ A z ∈ C)
12	9, 11	bitr 151	. . 3 ⊢ (z ∈ ∩y ∈ B ∪x ∈ A C ↔ ∀y ∈ B ∃x ∈ A z ∈ C)
13	1, 7, 12	3imtr4 192	. 2 ⊢ (z ∈ ∪x ∈ A ∩y ∈ B C → z ∈ ∩y ∈ B ∪x ∈ A C)
14	13	ssriv 1508	1 ⊢ ∪x ∈ A ∩y ∈ B C ⊆ ∩y ∈ B ∪x ∈ A C

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∪ciun 1994  ∩ciin 1995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iun 1996  df-iin 1997

metamath.org