Theorem iunn0 2029

Description: There is a non-empty class in an indexed collection B(x) iff the indexed union of them is non-empty.

Assertion

Ref	Expression
iunn0	⊢ (∃x ∈ A ¬ B = ∅ ↔ ¬ ∪x ∈ A B = ∅)

Distinct variable group(s):   x,A

Proof of Theorem iunn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 1714	. . 3 ⊢ (¬ B = ∅ ↔ ∃y y ∈ B)
2	1	birex 1224	. 2 ⊢ (∃x ∈ A ¬ B = ∅ ↔ ∃x ∈ A ∃y y ∈ B)
3		df-rex 1206	. 2 ⊢ (∃x ∈ A ∃y y ∈ B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B))
4		excom 728	. . . 4 ⊢ (∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ ∃y∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B))
5		exdistr 967	. . . 4 ⊢ (∃x∃y(x ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ ∃x(x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B))
6		eliun 1998	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A B ↔ ∃x ∈ A y ∈ B)
7		df-rex 1206	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B))
8	6, 7	bitr2 152	. . . . 5 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ y ∈ ∪x ∈ A B)
9	8	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃y∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B) ↔ ∃y y ∈ ∪x ∈ A B)
10	4, 5, 9	3bitr3 156	. . 3 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) ↔ ∃y y ∈ ∪x ∈ A B)
11		n0 1714	. . 3 ⊢ (¬ ∪x ∈ A B = ∅ ↔ ∃y y ∈ ∪x ∈ A B)
12	10, 11	bitr4 154	. 2 ⊢ (∃x(x ∈ A ∧ ∃y y ∈ B) ↔ ¬ ∪x ∈ A B = ∅)
13	2, 3, 12	3bitr 155	1 ⊢ (∃x ∈ A ¬ B = ∅ ↔ ¬ ∪x ∈ A B = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∅c0 1707  ∪ciun 1994

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-nul 1708  df-iun 1996

metamath.org