Theorem iunss 2017

Description: Subset theorem for an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunss	⊢ (∪x ∈ A B ⊆ C ↔ ∀x ∈ A B ⊆ C)

Distinct variable group(s):   x,C

Proof of Theorem iunss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 1497	. . . 4 ⊢ (B ⊆ C ↔ ∀y(y ∈ B → y ∈ C))
2	1	biral 1223	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A B ⊆ C ↔ ∀x ∈ A ∀y(y ∈ B → y ∈ C))
3		df-ral 1205	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∀y(y ∈ B → y ∈ C) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀y(y ∈ B → y ∈ C)))
4		impexp 276	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C) ↔ (x ∈ A → (y ∈ B → y ∈ C)))
5	4	bial 695	. . . . 5 ⊢ (∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C) ↔ ∀y(x ∈ A → (y ∈ B → y ∈ C)))
6		19.21v 942	. . . . 5 ⊢ (∀y(x ∈ A → (y ∈ B → y ∈ C)) ↔ (x ∈ A → ∀y(y ∈ B → y ∈ C)))
7	5, 6	bitr2 152	. . . 4 ⊢ ((x ∈ A → ∀y(y ∈ B → y ∈ C)) ↔ ∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C))
8	7	bial 695	. . 3 ⊢ (∀x(x ∈ A → ∀y(y ∈ B → y ∈ C)) ↔ ∀x∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C))
9	2, 3, 8	3bitr 155	. 2 ⊢ (∀x ∈ A B ⊆ C ↔ ∀x∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C))
10		19.23v 950	. . . . 5 ⊢ (∀x((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C))
11		eliun 1998	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A B ↔ ∃x ∈ A y ∈ B)
12		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B))
13	11, 12	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B))
14	13	imbi1i 161	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ∪x ∈ A B → y ∈ C) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C))
15	10, 14	bitr4 154	. . . 4 ⊢ (∀x((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C) ↔ (y ∈ ∪x ∈ A B → y ∈ C))
16	15	bial 695	. . 3 ⊢ (∀y∀x((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C) ↔ ∀y(y ∈ ∪x ∈ A B → y ∈ C))
17		alcom 715	. . 3 ⊢ (∀x∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C) ↔ ∀y∀x((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C))
18		dfss2 1497	. . 3 ⊢ (∪x ∈ A B ⊆ C ↔ ∀y(y ∈ ∪x ∈ A B → y ∈ C))
19	16, 17, 18	3bitr4 158	. 2 ⊢ (∀x∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → y ∈ C) ↔ ∪x ∈ A B ⊆ C)
20	9, 19	bitr2 152	1 ⊢ (∪x ∈ A B ⊆ C ↔ ∀x ∈ A B ⊆ C)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  ∪ciun 1994

This theorem is referenced by:  iunss2 2021  oawordeulem 3156  trcl 3489  r1val1 3502  rankuni 3533  rankuniss 3534  ranklon 3540

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-iun 1996

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