Theorem iunxun 2035

Description: Separate a union in the index of an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunxun	⊢ ∪x ∈ (A ∪ B)C = (∪x ∈ A C ∪ ∪x ∈ B C)

Proof of Theorem iunxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ (A ∪ B)y ∈ C ↔ ∃x(x ∈ (A ∪ B) ∧ y ∈ C))
2		elun 1601	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ (A ∪ B) ↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B))
3	2	anbi1i 368	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ (A ∪ B) ∧ y ∈ C) ↔ ((x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ y ∈ C))
4		andir 457	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ y ∈ C) ↔ ((x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ C)))
5	3, 4	bitr 151	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ (A ∪ B) ∧ y ∈ C) ↔ ((x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ C)))
6	5	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ (A ∪ B) ∧ y ∈ C) ↔ ∃x((x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ C)))
7		19.43 767	. . . . 5 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ C)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ ∃x(x ∈ B ∧ y ∈ C)))
8		eliun 1998	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A C ↔ ∃x ∈ A y ∈ C)
9		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ A y ∈ C ↔ ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ C))
10	8, 9	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ A C ↔ ∃x(x ∈ A ∧ y ∈ C))
11		eliun 1998	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ B C ↔ ∃x ∈ B y ∈ C)
12		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ B y ∈ C ↔ ∃x(x ∈ B ∧ y ∈ C))
13	11, 12	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ B C ↔ ∃x(x ∈ B ∧ y ∈ C))
14	10, 13	orbi12i 216	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ∪x ∈ A C ∨ y ∈ ∪x ∈ B C) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ ∃x(x ∈ B ∧ y ∈ C)))
15	7, 14	bitr4 154	. . . 4 ⊢ (∃x((x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ C)) ↔ (y ∈ ∪x ∈ A C ∨ y ∈ ∪x ∈ B C))
16	1, 6, 15	3bitr 155	. . 3 ⊢ (∃x ∈ (A ∪ B)y ∈ C ↔ (y ∈ ∪x ∈ A C ∨ y ∈ ∪x ∈ B C))
17		eliun 1998	. . 3 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ (A ∪ B)C ↔ ∃x ∈ (A ∪ B)y ∈ C)
18		elun 1601	. . 3 ⊢ (y ∈ (∪x ∈ A C ∪ ∪x ∈ B C) ↔ (y ∈ ∪x ∈ A C ∨ y ∈ ∪x ∈ B C))
19	16, 17, 18	3bitr4 158	. 2 ⊢ (y ∈ ∪x ∈ (A ∪ B)C ↔ y ∈ (∪x ∈ A C ∪ ∪x ∈ B C))
20	19	cleqri 1101	1 ⊢ ∪x ∈ (A ∪ B)C = (∪x ∈ A C ∪ ∪x ∈ B C)

Syntax hints:   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∪ cun 1485  ∪ciun 1994

This theorem is referenced by:  kmlem10 3589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-un 1490  df-iun 1996

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