Theorem kmlem13 3592

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4.

Assertion

Ref	Expression
kmlem13	⊢ ((¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ (∃z ∈ x ∀v ∈ z φ ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,v

Proof of Theorem kmlem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 1209	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ x ¬ ∀v ∈ z φ ↔ ¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ)
2		df-rex 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (∃v ∈ z ¬ φ ↔ ∃v(v ∈ z ∧ ¬ φ))
3		rexnal 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (∃v ∈ z ¬ φ ↔ ¬ ∀v ∈ z φ)
4	2, 3	bitr3 153	. . . . . . 7 ⊢ (∃v(v ∈ z ∧ ¬ φ) ↔ ¬ ∀v ∈ z φ)
5		pm3.26 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((v ∈ z ∧ ¬ φ) → v ∈ z)
6	5	19.22i 723	. . . . . . . 8 ⊢ (∃v(v ∈ z ∧ ¬ φ) → ∃v v ∈ z)
7		n0 1714	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ z = ∅ ↔ ∃v v ∈ z)
8	6, 7	sylibr 175	. . . . . . 7 ⊢ (∃v(v ∈ z ∧ ¬ φ) → ¬ z = ∅)
9	4, 8	sylbir 176	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀v ∈ z φ → ¬ z = ∅)
10	9	r19.20si 1254	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ x ¬ ∀v ∈ z φ → ∀z ∈ x ¬ z = ∅)
11	1, 10	sylbir 176	. . . 4 ⊢ (¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → ∀z ∈ x ¬ z = ∅)
12		biimt 549	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ z = ∅ → (∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
13	12	r19.20si 1254	. . . . . . . 8 ⊢ (∀z ∈ x ¬ z = ∅ → ∀z ∈ x (∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
14		r19.15 1292	. . . . . . . 8 ⊢ (∀z ∈ x (∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) → (∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
15	13, 14	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ (∀z ∈ x ¬ z = ∅ → (∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
16	15	anbi2d 468	. . . . . 6 ⊢ (∀z ∈ x ¬ z = ∅ → ((¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ (¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)))))
17	16	biexdv 936	. . . . 5 ⊢ (∀z ∈ x ¬ z = ∅ → (∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)))))
18		kmlem2 3581	. . . . 5 ⊢ (∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
19	17, 18	syl6rbbr 417	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ x ¬ z = ∅ → (∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
20	11, 19	syl 12	. . 3 ⊢ (¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → (∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
21	20	pm5.74i 443	. 2 ⊢ ((¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ (¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
22		df-or 197	. . 3 ⊢ ((∃z ∈ x ∀v ∈ z φ ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ (¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
23	22	bicomi 150	. 2 ⊢ ((¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ (∃z ∈ x ∀v ∈ z φ ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
24	21, 23	bitr 151	1 ⊢ ((¬ ∃z ∈ x ∀v ∈ z φ → ∃y∀z ∈ x (¬ z = ∅ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ (∃z ∈ x ∀v ∈ z φ ∨ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x ∃!v v ∈ (z ∩ y))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∃wex 678   ∈ wel 803  ∃!weu 1007   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486  ∅c0 1707

This theorem is referenced by:  aceqkm 3596

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-uni 1920

metamath.org