Theorem kmlem2 3581

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Assertion

Ref	Expression
kmlem2	⊢ (∃y∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))

Distinct variable group(s):   x,y,z,v   φ,y

Proof of Theorem kmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq2 1639	. . . . . . . 8 ⊢ (y = w → (z ∩ y) = (z ∩ w))
2	1	eleq2d 1156	. . . . . . 7 ⊢ (y = w → (v ∈ (z ∩ y) ↔ v ∈ (z ∩ w)))
3	2	bieudv 1013	. . . . . 6 ⊢ (y = w → (∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ ∃!v v ∈ (z ∩ w)))
4	3	imbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (y = w → ((φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w))))
5	4	biraldv 1219	. . . 4 ⊢ (y = w → (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w))))
6	5	cbvexv 973	. . 3 ⊢ (∃y∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∃w∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)))
7		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
8	7	uniex 1947	. . . . . 6 ⊢ ∪x ∈ V
9		eleq2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (y = ∪x → (u ∈ y ↔ u ∈ ∪x))
10	9	negbid 463	. . . . . . 7 ⊢ (y = ∪x → (¬ u ∈ y ↔ ¬ u ∈ ∪x))
11	10	biexdv 936	. . . . . 6 ⊢ (y = ∪x → (∃u ¬ u ∈ y ↔ ∃u ¬ u ∈ ∪x))
12		nalset 1482	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ∃y∀u u ∈ y
13		alexn 726	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y∃u ¬ u ∈ y ↔ ¬ ∃y∀u u ∈ y)
14	12, 13	mpbir 165	. . . . . . 7 ⊢ ∀y∃u ¬ u ∈ y
15	14	a4i 680	. . . . . 6 ⊢ ∃u ¬ u ∈ y
16	8, 11, 15	vtocl 1378	. . . . 5 ⊢ ∃u ¬ u ∈ ∪x
17		elssuni 1940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (z ∈ x → z ⊆ ∪x)
18	17	sseld 1506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (z ∈ x → (u ∈ z → u ∈ ∪x))
19	18	con3d 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (z ∈ x → (¬ u ∈ ∪x → ¬ u ∈ z))
20		disjsn 1836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((z ∩ {u}) = ∅ ↔ ¬ u ∈ z)
21	19, 20	syl6ibr 186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (z ∈ x → (¬ u ∈ ∪x → (z ∩ {u}) = ∅))
22	21	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ u ∈ ∪x → (z ∈ x → (z ∩ {u}) = ∅))
23	22	imp 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ u ∈ ∪x ∧ z ∈ x) → (z ∩ {u}) = ∅)
24	23	uneq2d 1611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ u ∈ ∪x ∧ z ∈ x) → ((z ∩ w) ∪ (z ∩ {u})) = ((z ∩ w) ∪ ∅))
25		un0 1721	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∩ w) ∪ ∅) = (z ∩ w)
26	24, 25	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ u ∈ ∪x ∧ z ∈ x) → ((z ∩ w) ∪ (z ∩ {u})) = (z ∩ w))
27		indi 1676	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∩ (w ∪ {u})) = ((z ∩ w) ∪ (z ∩ {u}))
28	26, 27	syl5req 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ u ∈ ∪x ∧ z ∈ x) → (z ∩ w) = (z ∩ (w ∪ {u})))
29	28	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ u ∈ ∪x ∧ z ∈ x) → (v ∈ (z ∩ w) ↔ v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))))
30	29	bieudv 1013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ u ∈ ∪x ∧ z ∈ x) → (∃!v v ∈ (z ∩ w) ↔ ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))))
31	30	imbi2d 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ u ∈ ∪x ∧ z ∈ x) → ((φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)) ↔ (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u})))))
32	31	biraldva 1215	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ u ∈ ∪x → (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)) ↔ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u})))))
33		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ u ∈ V
34	33	snid 1830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ u ∈ {u}
35	34	a1i 7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ u ∈ w → u ∈ {u})
36	35	orri 201	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u ∈ w ∨ u ∈ {u})
37		elun 1601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (u ∈ (w ∪ {u}) ↔ (u ∈ w ∨ u ∈ {u}))
38	36, 37	mpbir 165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ u ∈ (w ∪ {u})
39		elssuni 1940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((w ∪ {u}) ∈ x → (w ∪ {u}) ⊆ ∪x)
40	39	sseld 1506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((w ∪ {u}) ∈ x → (u ∈ (w ∪ {u}) → u ∈ ∪x))
41	38, 40	mpi 44	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w ∪ {u}) ∈ x → u ∈ ∪x)
42	41	con3i 90	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ u ∈ ∪x → ¬ (w ∪ {u}) ∈ x)
43	42	biantrurd 546	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ u ∈ ∪x → (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))) ↔ (¬ (w ∪ {u}) ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))))))
44	32, 43	bitrd 406	. . . . . . 7 ⊢ (¬ u ∈ ∪x → (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)) ↔ (¬ (w ∪ {u}) ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))))))
45		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ w ∈ V
46		snex 1859	. . . . . . . . 9 ⊢ {u} ∈ V
47	45, 46	unex 1949	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∪ {u}) ∈ V
48		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → (y ∈ x ↔ (w ∪ {u}) ∈ x))
49	48	negbid 463	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → (¬ y ∈ x ↔ ¬ (w ∪ {u}) ∈ x))
50		ineq2 1639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → (z ∩ y) = (z ∩ (w ∪ {u})))
51	50	eleq2d 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → (v ∈ (z ∩ y) ↔ v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))))
52	51	bieudv 1013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → (∃!v v ∈ (z ∩ y) ↔ ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))))
53	52	imbi2d 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → ((φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u})))))
54	53	biraldv 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u})))))
55	49, 54	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (w ∪ {u}) → ((¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) ↔ (¬ (w ∪ {u}) ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u}))))))
56	47, 55	cla4ev 1401	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (w ∪ {u}) ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ (w ∪ {u})))) → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
57	44, 56	syl6bi 187	. . . . . 6 ⊢ (¬ u ∈ ∪x → (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)) → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)))))
58	57	19.23aiv 952	. . . . 5 ⊢ (∃u ¬ u ∈ ∪x → (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)) → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)))))
59	16, 58	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)) → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
60	59	19.23aiv 952	. . 3 ⊢ (∃w∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ w)) → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
61	6, 60	sylbi 174	. 2 ⊢ (∃y∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) → ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))
62		pm3.27 260	. . 3 ⊢ ((¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) → ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
63	62	19.22i 723	. 2 ⊢ (∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))) → ∃y∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)))
64	61, 63	impbi 139	1 ⊢ (∃y∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y)) ↔ ∃y(¬ y ∈ x ∧ ∀z ∈ x (φ → ∃!v v ∈ (z ∩ y))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803  ∃!weu 1007   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ∪ cun 1485   ∩ cin 1486  ∅c0 1707  {csn 1808  ∪cuni 1919

This theorem is referenced by:  kmlem13 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-uni 1920

metamath.org