Theorem kmlem3 3582

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. The right-hand side is part of the hypothesis of 4.

Assertion

Ref	Expression
kmlem3	⊢ (¬ (z ∖ ∪(x ∖ {z})) = ∅ ↔ ∃v ∈ z ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))

Distinct variable group(s):   x,z,w,v

Proof of Theorem kmlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdif2 1495	. . . . 5 ⊢ (z ∖ ∪(x ∖ {z})) = {v ∈ z∣ ¬ v ∈ ∪(x ∖ {z})}
2		dfnul3 1710	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = {v ∈ z∣ ¬ v ∈ z}
3	2	uneq2i 1608	. . . . . 6 ⊢ ({v ∈ z∣ ¬ v ∈ ∪(x ∖ {z})} ∪ ∅) = ({v ∈ z∣ ¬ v ∈ ∪(x ∖ {z})} ∪ {v ∈ z∣ ¬ v ∈ z})
4		un0 1721	. . . . . 6 ⊢ ({v ∈ z∣ ¬ v ∈ ∪(x ∖ {z})} ∪ ∅) = {v ∈ z∣ ¬ v ∈ ∪(x ∖ {z})}
5		unrab 1694	. . . . . 6 ⊢ ({v ∈ z∣ ¬ v ∈ ∪(x ∖ {z})} ∪ {v ∈ z∣ ¬ v ∈ z}) = {v ∈ z∣(¬ v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∨ ¬ v ∈ z)}
6	3, 4, 5	3eqtr3 1124	. . . . 5 ⊢ {v ∈ z∣ ¬ v ∈ ∪(x ∖ {z})} = {v ∈ z∣(¬ v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∨ ¬ v ∈ z)}
7		ianor 253	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∧ v ∈ z) ↔ (¬ v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∨ ¬ v ∈ z))
8		rexnal 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃w ∈ x ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)) ↔ ¬ ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))
9		df-rex 1206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃w ∈ x ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)) ↔ ∃w(w ∈ x ∧ ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))))
10		eldif 1496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (w ∈ (x ∖ {z}) ↔ (w ∈ x ∧ ¬ w ∈ {z}))
11		elsn 1820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (w ∈ {z} ↔ w = z)
12		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (w = z ↔ z = w)
13	11, 12	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (w ∈ {z} ↔ z = w)
14	13	negbii 162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ w ∈ {z} ↔ ¬ z = w)
15	14	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((w ∈ x ∧ ¬ w ∈ {z}) ↔ (w ∈ x ∧ ¬ z = w))
16	10, 15	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (w ∈ (x ∖ {z}) ↔ (w ∈ x ∧ ¬ z = w))
17	16	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((v ∈ w ∧ v ∈ z) ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ↔ ((v ∈ w ∧ v ∈ z) ∧ (w ∈ x ∧ ¬ z = w)))
18		ancom 333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((v ∈ w ∧ v ∈ z) ↔ (v ∈ z ∧ v ∈ w))
19	18	anbi1i 368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((v ∈ w ∧ v ∈ z) ∧ (w ∈ x ∧ ¬ z = w)) ↔ ((v ∈ z ∧ v ∈ w) ∧ (w ∈ x ∧ ¬ z = w)))
20		ancom 333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((v ∈ z ∧ v ∈ w) ∧ (w ∈ x ∧ ¬ z = w)) ↔ ((w ∈ x ∧ ¬ z = w) ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w)))
21	19, 20	bitr 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((v ∈ w ∧ v ∈ z) ∧ (w ∈ x ∧ ¬ z = w)) ↔ ((w ∈ x ∧ ¬ z = w) ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w)))
22		anass 336	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((w ∈ x ∧ ¬ z = w) ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w)) ↔ (w ∈ x ∧ (¬ z = w ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w))))
23	17, 21, 22	3bitr 155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((v ∈ w ∧ v ∈ z) ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ↔ (w ∈ x ∧ (¬ z = w ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w))))
24		an23 371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((v ∈ w ∧ v ∈ z) ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ↔ ((v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ∧ v ∈ z))
25		elin 1635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (v ∈ (z ∩ w) ↔ (v ∈ z ∧ v ∈ w))
26	25	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) ↔ (¬ z = w ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w)))
27		df-an 198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((¬ z = w ∧ v ∈ (z ∩ w)) ↔ ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))
28	26, 27	bitr3 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((¬ z = w ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w)) ↔ ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))
29	28	anbi2i 367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((w ∈ x ∧ (¬ z = w ∧ (v ∈ z ∧ v ∈ w))) ↔ (w ∈ x ∧ ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))))
30	23, 24, 29	3bitr3r 157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ x ∧ ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))) ↔ ((v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ∧ v ∈ z))
31	30	biex 733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃w(w ∈ x ∧ ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))) ↔ ∃w((v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ∧ v ∈ z))
32		19.41v 963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃w((v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ∧ v ∈ z) ↔ (∃w(v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ∧ v ∈ z))
33	9, 31, 32	3bitr 155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃w ∈ x ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)) ↔ (∃w(v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ∧ v ∈ z))
34		eluni 1922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (v ∈ ∪(x ∖ {z}) ↔ ∃w(v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})))
35	34	anbi1i 368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∧ v ∈ z) ↔ (∃w(v ∈ w ∧ w ∈ (x ∖ {z})) ∧ v ∈ z))
36	33, 35	bitr4 154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃w ∈ x ¬ (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)) ↔ (v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∧ v ∈ z))
37	8, 36	bitr3 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)) ↔ (v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∧ v ∈ z))
38	37	bicon1i 193	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∧ v ∈ z) ↔ ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))
39	7, 38	bitr3 153	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∨ ¬ v ∈ z) ↔ ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))
40	39	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ (v ∈ z → ((¬ v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∨ ¬ v ∈ z) ↔ ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))))
41	40	birabi 1342	. . . . 5 ⊢ {v ∈ z∣(¬ v ∈ ∪(x ∖ {z}) ∨ ¬ v ∈ z)} = {v ∈ z∣∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))}
42	1, 6, 41	3eqtr 1123	. . . 4 ⊢ (z ∖ ∪(x ∖ {z})) = {v ∈ z∣∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))}
43	42	cleq1i 1108	. . 3 ⊢ ((z ∖ ∪(x ∖ {z})) = ∅ ↔ {v ∈ z∣∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))} = ∅)
44	43	negbii 162	. 2 ⊢ (¬ (z ∖ ∪(x ∖ {z})) = ∅ ↔ ¬ {v ∈ z∣∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))} = ∅)
45		rabn0 1716	. 2 ⊢ (¬ {v ∈ z∣∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w))} = ∅ ↔ ∃v ∈ z ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))
46	44, 45	bitr 151	1 ⊢ (¬ (z ∖ ∪(x ∖ {z})) = ∅ ↔ ∃v ∈ z ∀w ∈ x (¬ z = w → ¬ v ∈ (z ∩ w)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204   ∖ cdif 1484   ∪ cun 1485   ∩ cin 1486  ∅c0 1707  {csn 1808  ∪cuni 1919

This theorem is referenced by:  kmlem12 3591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-nul 1708  df-sn 1811  df-uni 1920

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