Theorem kmlem9 3588

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem8.1	⊢ A = {u∣∃t ∈ x u = (t ∖ ∪(x ∖ {t}))}

Assertion

Ref	Expression
kmlem9	⊢ (∀h(∀z ∈ h ∀w ∈ h (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) → ∃y∀z ∈ h φ) → ∃y∀z ∈ A φ)

Distinct variable group(s):   x,y,z,w,u,t,h   y,A,z,w,h   φ,h

Proof of Theorem kmlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem8.1	. . 3 ⊢ A = {u∣∃t ∈ x u = (t ∖ ∪(x ∖ {t}))}
2	1	kmlem8 3587	. 2 ⊢ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)
3		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
4	3	abrexex 2912	. . . 4 ⊢ {u∣∃t ∈ x u = (t ∖ ∪(x ∖ {t}))} ∈ V
5	1, 4	eqeltr 1159	. . 3 ⊢ A ∈ V
6		raleq 1324	. . . . 5 ⊢ (h = A → (∀w ∈ h (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) ↔ ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)))
7	6	raleqd 1327	. . . 4 ⊢ (h = A → (∀z ∈ h ∀w ∈ h (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) ↔ ∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅)))
8		raleq 1324	. . . . 5 ⊢ (h = A → (∀z ∈ h φ ↔ ∀z ∈ A φ))
9	8	biexdv 936	. . . 4 ⊢ (h = A → (∃y∀z ∈ h φ ↔ ∃y∀z ∈ A φ))
10	7, 9	imbi12d 474	. . 3 ⊢ (h = A → ((∀z ∈ h ∀w ∈ h (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) → ∃y∀z ∈ h φ) ↔ (∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) → ∃y∀z ∈ A φ)))
11	5, 10	cla4v 1400	. 2 ⊢ (∀h(∀z ∈ h ∀w ∈ h (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) → ∃y∀z ∈ h φ) → (∀z ∈ A ∀w ∈ A (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) → ∃y∀z ∈ A φ))
12	2, 11	mpi 44	1 ⊢ (∀h(∀z ∈ h ∀w ∈ h (¬ z = w → (z ∩ w) = ∅) → ∃y∀z ∈ h φ) → ∃y∀z ∈ A φ)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484   ∩ cin 1486  ∅c0 1707  {csn 1808  ∪cuni 1919

This theorem is referenced by:  kmlem12 3591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438

metamath.org