Theorem ledivt 4405

Description: Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number.

Assertion

Ref	Expression
ledivt	⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (0 < C → (A ≤ B ↔ (A / C) ≤ (B / C))))

Proof of Theorem ledivt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltdivt 4404	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ A ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (0 < C → (B < A ↔ (B / C) < (A / C))))
2	1	3com12 614	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (0 < C → (B < A ↔ (B / C) < (A / C))))
3	2	imp 277	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ 0 < C) → (B < A ↔ (B / C) < (A / C)))
4	3	negbid 463	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ 0 < C) → (¬ B < A ↔ ¬ (B / C) < (A / C)))
5		leltt 4278	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A ≤ B ↔ ¬ B < A))
6	5	3adant3 599	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (A ≤ B ↔ ¬ B < A))
7	6	adantr 306	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ 0 < C) → (A ≤ B ↔ ¬ B < A))
8		gt0ne0t 4346	. . . . . . . 8 ⊢ (C ∈ ℝ → (0 < C → C ≠ 0))
9	8	adantl 305	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (0 < C → C ≠ 0))
10	9	3adant1 597	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (0 < C → C ≠ 0))
11		redivclt 4276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ C ≠ 0) → (A / C) ∈ ℝ)
12	11	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (C ≠ 0 → (A / C) ∈ ℝ))
13	12	3adant2 598	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (C ≠ 0 → (A / C) ∈ ℝ))
14		redivclt 4276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ C ≠ 0) → (B / C) ∈ ℝ)
15	14	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (C ≠ 0 → (B / C) ∈ ℝ))
16	15	3adant1 597	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (C ≠ 0 → (B / C) ∈ ℝ))
17	13, 16	jcad 455	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (C ≠ 0 → ((A / C) ∈ ℝ ∧ (B / C) ∈ ℝ)))
18	10, 17	syld 27	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (0 < C → ((A / C) ∈ ℝ ∧ (B / C) ∈ ℝ)))
19	18	imp 277	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ 0 < C) → ((A / C) ∈ ℝ ∧ (B / C) ∈ ℝ))
20		leltt 4278	. . . 4 ⊢ (((A / C) ∈ ℝ ∧ (B / C) ∈ ℝ) → ((A / C) ≤ (B / C) ↔ ¬ (B / C) < (A / C)))
21	19, 20	syl 12	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ 0 < C) → ((A / C) ≤ (B / C) ↔ ¬ (B / C) < (A / C)))
22	4, 7, 21	3bitr4d 424	. 2 ⊢ (((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) ∧ 0 < C) → (A ≤ B ↔ (A / C) ≤ (B / C)))
23	22	exp 291	1 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → (0 < C → (A ≤ B ↔ (A / C) ≤ (B / C))))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   / cdiv 4091   ≤ cle 4092

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

metamath.org