Theorem lelt 4301

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ A ∈ ℝ
lt.2	⊢ B ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lelt	⊢ (A ≤ B ↔ ¬ B < A)

Proof of Theorem lelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 ⊢ A ∈ ℝ
2		lt.2	. 2 ⊢ B ∈ ℝ
3		leltt 4278	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ∧ B ∈ ℝ) → (A ≤ B ↔ ¬ B < A))
4	1, 2, 3	mp2an 520	1 ⊢ (A ≤ B ↔ ¬ B < A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  ℝcr 4027   < clt 4033   ≤ cle 4092

This theorem is referenced by:  letri 4306  leadd1 4314  ltaddsub 4320  lt2sq 4414  le2sq 4415  nnsub 4450  nn0ltp1let 4556  elnnz1 4581  halfnz 4586  zltp1let 4597  discrlem3 4715  nneo 4719  sqrlem8 4738  ruclem35 4919  projlem13 5205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-le 4277

metamath.org