Theorem lemul2 4396

Description: Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number.

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ A ∈ ℝ
ltmul1.2	⊢ B ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ C ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
lemul2	⊢ (0 < C → (A ≤ B ↔ (C · A) ≤ (C · B)))

Proof of Theorem lemul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
2		ltmul1.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℝ
3		ltmul1.3	. . . 4 ⊢ C ∈ ℝ
4	1, 2, 3	ltmul2 4395	. . 3 ⊢ (0 < C → (A < B ↔ (C · A) < (C · B)))
5	3	gt0ne0 4340	. . . 4 ⊢ (0 < C → C ≠ 0)
6	3	recn 4098	. . . . . . 7 ⊢ C ∈ ℂ
7	1	recn 4098	. . . . . . 7 ⊢ A ∈ ℂ
8	2	recn 4098	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℂ
9	6, 7, 8	3pm3.2i 603	. . . . . 6 ⊢ (C ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ)
10		mulcant2 4209	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ C ≠ 0) → ((C · A) = (C · B) ↔ A = B))
11	9, 10	mpan 518	. . . . 5 ⊢ (C ≠ 0 → ((C · A) = (C · B) ↔ A = B))
12	11	bicomd 399	. . . 4 ⊢ (C ≠ 0 → (A = B ↔ (C · A) = (C · B)))
13	5, 12	syl 12	. . 3 ⊢ (0 < C → (A = B ↔ (C · A) = (C · B)))
14	4, 13	orbi12d 475	. 2 ⊢ (0 < C → ((A < B ∨ A = B) ↔ ((C · A) < (C · B) ∨ (C · A) = (C · B))))
15	1, 2	leloe 4298	. 2 ⊢ (A ≤ B ↔ (A < B ∨ A = B))
16	3, 1	remulcl 4119	. . 3 ⊢ (C · A) ∈ ℝ
17	3, 2	remulcl 4119	. . 3 ⊢ (C · B) ∈ ℝ
18	16, 17	leloe 4298	. 2 ⊢ ((C · A) ≤ (C · B) ↔ ((C · A) < (C · B) ∨ (C · A) = (C · B)))
19	14, 15, 18	3bitr4g 428	1 ⊢ (0 < C → (A ≤ B ↔ (C · A) ≤ (C · B)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   · cmulc 4032   < clt 4033   ≤ cle 4092

This theorem is referenced by:  lemul1 4397  lt2sq 4414  discrlem1 4713  nnlesq 4718  abstri 4859  bcs 5101  projlem3 5195  projlem4 5196  projlem18 5210

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

metamath.org