Theorem limenpsi 3400

Description: A limit ordinal is equinumerous to a proper subset of itself.

Hypothesis

Ref	Expression
limenpsi.1	⊢ Lim A

Assertion

Ref	Expression
limenpsi	⊢ (A ∈ B → A ≈ (A ∖ {∅}))

Proof of Theorem limenpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbth 3359	. 2 ⊢ ((A ≼ (A ∖ {∅}) ∧ (A ∖ {∅}) ≼ A) → A ≈ (A ∖ {∅}))
2		limenpsi.1	. . . . . . 7 ⊢ Lim A
3		limsuc 2361	. . . . . . 7 ⊢ (Lim A → (x ∈ A ↔ suc x ∈ A))
4	2, 3	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ A ↔ suc x ∈ A)
5	4	biimp 133	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → suc x ∈ A)
6		nsuceq0 2306	. . . . . 6 ⊢ ¬ suc x = ∅
7		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
8	7	sucex 2303	. . . . . . 7 ⊢ suc x ∈ V
9	8	elsnc 1826	. . . . . 6 ⊢ (suc x ∈ {∅} ↔ suc x = ∅)
10	6, 9	mtbir 167	. . . . 5 ⊢ ¬ suc x ∈ {∅}
11	5, 10	jctir 241	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → (suc x ∈ A ∧ ¬ suc x ∈ {∅}))
12		eldif 1496	. . . 4 ⊢ (suc x ∈ (A ∖ {∅}) ↔ (suc x ∈ A ∧ ¬ suc x ∈ {∅}))
13	11, 12	sylibr 175	. . 3 ⊢ (x ∈ A → suc x ∈ (A ∖ {∅}))
14		suc11 2341	. . . 4 ⊢ ((x ∈ On ∧ y ∈ On) → (suc x = suc y ↔ x = y))
15		limord 2283	. . . . . 6 ⊢ (Lim A → Ord A)
16	2, 15	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ Ord A
17		ordelon 2222	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ x ∈ A) → x ∈ On)
18	16, 17	mpan 518	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → x ∈ On)
19		ordelon 2222	. . . . 5 ⊢ ((Ord A ∧ y ∈ A) → y ∈ On)
20	16, 19	mpan 518	. . . 4 ⊢ (y ∈ A → y ∈ On)
21	14, 18, 20	syl2an 349	. . 3 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ A) → (suc x = suc y ↔ x = y))
22	13, 21	dom2 3308	. 2 ⊢ (A ∈ B → A ≼ (A ∖ {∅}))
23		difss 1596	. . 3 ⊢ (A ∖ {∅}) ⊆ A
24		ssdom2g 3312	. . 3 ⊢ (A ∈ B → ((A ∖ {∅}) ⊆ A → (A ∖ {∅}) ≼ A))
25	23, 24	mpi 44	. 2 ⊢ (A ∈ B → (A ∖ {∅}) ≼ A)
26	1, 22, 25	sylanc 361	1 ⊢ (A ∈ B → A ≈ (A ∖ {∅}))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∖ cdif 1484   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  {csn 1808   class class class wbr 2054  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  suc csuc 2201   ≈ cen 3271   ≼ cdom 3272

This theorem is referenced by:  limensuci 3401  omenps 3482

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org