Theorem limensuc 3402

Description: A limit ordinal is equinumerous to its successor.

Assertion

Ref	Expression
limensuc	⊢ ((A ∈ B ∧ Lim A) → A ≈ suc A)

Proof of Theorem limensuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1149	. . . . 5 ⊢ (A = if(Lim A, A, On) → (A ∈ B ↔ if(Lim A, A, On) ∈ B))
2		id 9	. . . . . 6 ⊢ (A = if(Lim A, A, On) → A = if(Lim A, A, On))
3		suceq 2288	. . . . . 6 ⊢ (A = if(Lim A, A, On) → suc A = suc if(Lim A, A, On))
4	2, 3	breq12d 2073	. . . . 5 ⊢ (A = if(Lim A, A, On) → (A ≈ suc A ↔ if(Lim A, A, On) ≈ suc if(Lim A, A, On)))
5	1, 4	imbi12d 474	. . . 4 ⊢ (A = if(Lim A, A, On) → ((A ∈ B → A ≈ suc A) ↔ (if(Lim A, A, On) ∈ B → if(Lim A, A, On) ≈ suc if(Lim A, A, On))))
6		limeq 2211	. . . . . 6 ⊢ (A = if(Lim A, A, On) → (Lim A ↔ Lim if(Lim A, A, On)))
7		limeq 2211	. . . . . 6 ⊢ (On = if(Lim A, A, On) → (Lim On ↔ Lim if(Lim A, A, On)))
8		limon 2342	. . . . . 6 ⊢ Lim On
9	6, 7, 8	elimhyp 1790	. . . . 5 ⊢ Lim if(Lim A, A, On)
10	9	limensuci 3401	. . . 4 ⊢ (if(Lim A, A, On) ∈ B → if(Lim A, A, On) ≈ suc if(Lim A, A, On))
11	5, 10	dedth 1784	. . 3 ⊢ (Lim A → (A ∈ B → A ≈ suc A))
12	11	com12 13	. 2 ⊢ (A ∈ B → (Lim A → A ≈ suc A))
13	12	imp 277	1 ⊢ ((A ∈ B ∧ Lim A) → A ≈ suc A)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ifcif 1776   class class class wbr 2054  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  suc csuc 2201   ≈ cen 3271

This theorem is referenced by:  infensuc 3484

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-1o 3104  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275

metamath.org