Theorem ltaddpq 3873

Description: The sum of two fractions is greater than one of them.

Hypotheses

Ref	Expression
ltaddpq.1	⊢ A ∈ V
ltaddpq.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltaddpq	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → A <Q (A +Q B))

Proof of Theorem ltaddpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpq.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ V
2		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (B +Q B) ∈ V
3	1, 2	ltapq 3870	. . . . 5 ⊢ (A ∈ Q → (B <Q (B +Q B) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
4		1lt2pq 3872	. . . . . . 7 ⊢ 1Q <Q (1Q +Q 1Q)
5		1q 3851	. . . . . . . . 9 ⊢ 1Q ∈ Q
6	5	elisseti 1355	. . . . . . . 8 ⊢ 1Q ∈ V
7		oprex 3018	. . . . . . . 8 ⊢ (1Q +Q 1Q) ∈ V
8	6, 7	ltmpq 3871	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Q → (1Q <Q (1Q +Q 1Q) ↔ (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q))))
9	4, 8	mpbii 168	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q 1Q) <Q (B ·Q (1Q +Q 1Q)))
10		mulidpq 3863	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q 1Q) = B)
11	10, 10	opreq12d 3014	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ Q → ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q)) = (B +Q B))
12	6, 6	distrpq 3861	. . . . . . 7 ⊢ (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = ((B ·Q 1Q) +Q (B ·Q 1Q))
13	11, 12	syl5eq 1136	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ Q → (B ·Q (1Q +Q 1Q)) = (B +Q B))
14	9, 10, 13	3brtr3d 2086	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → B <Q (B +Q B))
15	3, 14	syl5bi 183	. . . 4 ⊢ (A ∈ Q → (B ∈ Q → (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B))))
16		ltaddpq.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ V
17	1, 16	addcompq 3856	. . . . 5 ⊢ (B +Q A) = (A +Q B)
18		oprex 3018	. . . . . . 7 ⊢ (A +Q B) ∈ V
19	1, 18	addcompq 3856	. . . . . 6 ⊢ (B +Q (A +Q B)) = ((A +Q B) +Q B)
20	1, 1	addasspq 3857	. . . . . 6 ⊢ ((A +Q B) +Q B) = (A +Q (B +Q B))
21	19, 20	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (B +Q (A +Q B)) = (A +Q (B +Q B))
22	17, 21	breq12i 2070	. . . 4 ⊢ ((B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)) ↔ (A +Q B) <Q (A +Q (B +Q B)))
23	15, 22	syl6ibr 186	. . 3 ⊢ (A ∈ Q → (B ∈ Q → (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
24	23	imp 277	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B)))
25	16, 18	ltapq 3870	. . 3 ⊢ (B ∈ Q → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
26	25	adantl 305	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q (A +Q B) ↔ (B +Q A) <Q (B +Q (A +Q B))))
27	24, 26	mpbird 171	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → A <Q (A +Q B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773  1_Qc1q 3774   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776   <_Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  ltexpq 3874  nsmallpq 3877  ltbtwnpq 3878  prlem934 3933  ltaddpr 3934  ltexprlem2 3937  ltexprlem4 3939

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837

metamath.org