Theorem ltapi 3824

Description: Ordering property of multiplication for positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ltapi.1	⊢ A ∈ V
ltapi.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltapi	⊢ (C ∈ N → (A <N B ↔ (C +N A) <N (C +N B)))

Proof of Theorem ltapi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltapi.2	. 2 ⊢ B ∈ V
2		dmaddpi 3812	. 2 ⊢ dom +N = (N × N)
3		ltapi.1	. 2 ⊢ A ∈ V
4		ltrelpi 3811	. 2 ⊢ <N ⊆ (N × N)
5		0npi 3804	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
6		nnaord 3177	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → (A ∈ B ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
7		pinn 3800	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ N → A ∈ ω)
8		pinn 3800	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ N → B ∈ ω)
9		pinn 3800	. . . . . 6 ⊢ (C ∈ N → C ∈ ω)
10	6, 7, 8, 9	syl3an 628	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ C ∈ N) → (A ∈ B ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
11	10	3expa 612	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → (A ∈ B ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
12		ltpiord 3809	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))
13	12	adantr 306	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))
14		ltpiord 3809	. . . . . . . 8 ⊢ (((C +N A) ∈ N ∧ (C +N B) ∈ N) → ((C +N A) <N (C +N B) ↔ (C +N A) ∈ (C +N B)))
15		addclpi 3814	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ N ∧ A ∈ N) → (C +N A) ∈ N)
16		addclpi 3814	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ N ∧ B ∈ N) → (C +N B) ∈ N)
17	14, 15, 16	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C +N A) <N (C +N B) ↔ (C +N A) ∈ (C +N B)))
18		addpiord 3806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ N ∧ A ∈ N) → (C +N A) = (C +o A))
19	18	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → (C +N A) = (C +o A))
20		addpiord 3806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ N ∧ B ∈ N) → (C +N B) = (C +o B))
21	20	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → (C +N B) = (C +o B))
22	19, 21	eleq12d 1157	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C +N A) ∈ (C +N B) ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
23	17, 22	bitrd 406	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C +N A) <N (C +N B) ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
24	23	anandis 394	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ N ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C +N A) <N (C +N B) ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
25	24	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → ((C +N A) <N (C +N B) ↔ (C +o A) ∈ (C +o B)))
26	11, 13, 25	3bitr4d 424	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → (A <N B ↔ (C +N A) <N (C +N B)))
27	26	3impa 609	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ C ∈ N) → (A <N B ↔ (C +N A) <N (C +N B)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 27	ndmord 3064	1 ⊢ (C ∈ N → (A <N B ↔ (C +N A) <N (C +N B)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   <_N clti 3769

This theorem is referenced by:  ltapq 3870

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-ni 3794  df-pli 3795  df-lti 3797

metamath.org