Theorem ltaprlem 3944

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(v) of [Gleason] p. 123.

Hypotheses

Ref	Expression
ltaprlem.1	⊢ A ∈ V
ltaprlem.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltaprlem	⊢ (C ∈ P → (A<P B → (C +P A)<P (C +P B)))

Proof of Theorem ltaprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaprlem.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ V
2	1	ltexpri 3943	. . . . 5 ⊢ (A<P B → ∃x(x ∈ P ∧ (A +P x) = B))
3		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A +P x) = B → (C +P (A +P x)) = (C +P B))
4		ltaprlem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ A ∈ V
5		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ x ∈ V
6	4, 5	addasspr 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C +P A) +P x) = (C +P (A +P x))
7	3, 6	syl5eq 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A +P x) = B → ((C +P A) +P x) = (C +P B))
8	7	breq2d 2072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A +P x) = B → ((C +P A)<P ((C +P A) +P x) ↔ (C +P A)<P (C +P B)))
9		ltaddpr 3934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((C +P A) ∈ P ∧ x ∈ P) → (C +P A)<P ((C +P A) +P x))
10	8, 9	syl5bi 183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A +P x) = B → (((C +P A) ∈ P ∧ x ∈ P) → (C +P A)<P (C +P B)))
11	10	exp3a 292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A +P x) = B → ((C +P A) ∈ P → (x ∈ P → (C +P A)<P (C +P B))))
12		addclpr 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ P ∧ A ∈ P) → (C +P A) ∈ P)
13	11, 12	syl5 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +P x) = B → ((C ∈ P ∧ A ∈ P) → (x ∈ P → (C +P A)<P (C +P B))))
14	13	com3r 35	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ P → ((A +P x) = B → ((C ∈ P ∧ A ∈ P) → (C +P A)<P (C +P B))))
15	14	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ (A +P x) = B) → ((C ∈ P ∧ A ∈ P) → (C +P A)<P (C +P B)))
16	15	19.23aiv 952	. . . . 5 ⊢ (∃x(x ∈ P ∧ (A +P x) = B) → ((C ∈ P ∧ A ∈ P) → (C +P A)<P (C +P B)))
17	2, 16	syl 12	. . . 4 ⊢ (A<P B → ((C ∈ P ∧ A ∈ P) → (C +P A)<P (C +P B)))
18		ltrelpr 3895	. . . . . 6 ⊢ <P ⊆ (P × P)
19	1, 18	brel 2459	. . . . 5 ⊢ (A<P B → (A ∈ P ∧ B ∈ P))
20	19	pm3.26d 258	. . . 4 ⊢ (A<P B → A ∈ P)
21	17, 20	sylan2i 357	. . 3 ⊢ (A<P B → ((C ∈ P ∧ A<P B) → (C +P A)<P (C +P B)))
22	21	exp3a 292	. 2 ⊢ (A<P B → (C ∈ P → (A<P B → (C +P A)<P (C +P B))))
23	22	pm2.43b 61	1 ⊢ (C ∈ P → (A<P B → (C +P A)<P (C +P B)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Pcnp 3779   +_P cpp 3781  <_P cltp 3783

This theorem is referenced by:  ltapr 3945

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-ltp 3884

metamath.org