Theorem ltbtwnpq 3878

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltbtwnpq.1	⊢ A ∈ V
ltbtwnpq.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnpq	⊢ (A <Q B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem ltbtwnpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnpq.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
2		ltrelpq 3845	. . 3 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	brel 2459	. 2 ⊢ (A <Q B → (A ∈ Q ∧ B ∈ Q))
4		ltbtwnpq.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
5	4	ltexpq 3874	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃y(A +Q y) = B))
6		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +Q y) = B → ((A +Q y) ∈ Q ↔ B ∈ Q))
7		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ V
8		dmaddpq 3853	. . . . . . . . 9 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0npq 3844	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	7, 8, 9	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +Q y) ∈ Q → (A ∈ Q ∧ y ∈ Q))
11	6, 10	syl6bir 188	. . . . . . 7 ⊢ ((A +Q y) = B → (B ∈ Q → (A ∈ Q ∧ y ∈ Q)))
12		halfpq 3876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ Q → ∃z(z +Q z) = y)
13	12	adantl 305	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ∃z(z +Q z) = y)
14		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z +Q z) = y → ((z +Q z) ∈ Q ↔ y ∈ Q))
15		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ z ∈ V
16	15, 8, 9	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z +Q z) ∈ Q → (z ∈ Q ∧ z ∈ Q))
17	16	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z +Q z) ∈ Q → z ∈ Q)
18	14, 17	syl6bir 188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z +Q z) = y → (y ∈ Q → z ∈ Q))
19	18	anim2d 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A ∈ Q ∧ y ∈ Q) → (A ∈ Q ∧ z ∈ Q)))
20		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((z +Q z) = y → (A +Q (z +Q z)) = (A +Q y))
21	20	cleq1d 1109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q (z +Q z)) = B ↔ (A +Q y) = B))
22		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A +Q (z +Q z)) = B → ((A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)) ↔ (A +Q z) <Q B))
23		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (A +Q z) ∈ V
24	23, 15	ltaddpq 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A +Q z) ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q ((A +Q z) +Q z))
25	15, 15	addasspq 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((A +Q z) +Q z) = (A +Q (z +Q z))
26	24, 25	syl6breq 2093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A +Q z) ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)))
27	22, 26	syl5bi 183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A +Q (z +Q z)) = B → (((A +Q z) ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B))
28	21, 27	syl6bir 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → (((A +Q z) ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B)))
29		addclpq 3852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) ∈ Q)
30		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → z ∈ Q)
31	29, 30	jca 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → ((A +Q z) ∈ Q ∧ z ∈ Q))
32	28, 31	syl7 24	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B)))
33	4, 15	ltaddpq 3873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → A <Q (A +Q z))
34		pm3.43i 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → A <Q (A +Q z)) → (((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B) → ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B))))
35	33, 34	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A +Q z) <Q B) → ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B)))
36	32, 35	syl6 23	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → (A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B))))
37		breq2 2066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (A +Q z) → (A <Q x ↔ A <Q (A +Q z)))
38		breq1 2065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (x = (A +Q z) → (x <Q B ↔ (A +Q z) <Q B))
39	37, 38	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (A +Q z) → ((A <Q x ∧ x <Q B) ↔ (A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B)))
40	23, 39	cla4ev 1401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A <Q (A +Q z) ∧ (A +Q z) <Q B) → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B))
41	36, 40	syl8 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B))))
42	41	com23 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A ∈ Q ∧ z ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B))))
43	19, 42	syld 27	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z +Q z) = y → ((A ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B))))
44	43	19.23aiv 952	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃z(z +Q z) = y → ((A ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B))))
45	13, 44	mpcom 49	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B)))
46	45	com12 13	. . . . . . 7 ⊢ ((A +Q y) = B → ((A ∈ Q ∧ y ∈ Q) → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B)))
47	11, 46	syld 27	. . . . . 6 ⊢ ((A +Q y) = B → (B ∈ Q → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B)))
48	47	com12 13	. . . . 5 ⊢ (B ∈ Q → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B)))
49	48	adantl 305	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B)))
50	49	19.23adv 954	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (∃y(A +Q y) = B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B)))
51	5, 50	sylbid 178	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B)))
52	3, 51	mpcom 49	1 ⊢ (A <Q B → ∃x(A <Q x ∧ x <Q B))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  1pr 3911  reclem2pr 3951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837

metamath.org