Theorem ltexpi 3823

Description: Ordering on positive integers in terms of existence of sum.

Assertion

Ref	Expression
ltexpi	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ ∃x(x ∈ N ∧ (A +N x) = B)))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordex 3191	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ∈ B ↔ ∃x ∈ ω (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B)))
2		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ω (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B) ↔ ∃x(x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B)))
3	1, 2	syl6bb 414	. . 3 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (A ∈ B ↔ ∃x(x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B))))
4		pinn 3800	. . 3 ⊢ (A ∈ N → A ∈ ω)
5		pinn 3800	. . 3 ⊢ (B ∈ N → B ∈ ω)
6	3, 4, 5	syl2an 349	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A ∈ B ↔ ∃x(x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B))))
7		ltpiord 3809	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))
8		addpiord 3806	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ N ∧ x ∈ N) → (A +N x) = (A +o x))
9	8	cleq1d 1109	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ N ∧ x ∈ N) → ((A +N x) = B ↔ (A +o x) = B))
10	9	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ N → (x ∈ N → ((A +N x) = B ↔ (A +o x) = B)))
11	10	pm5.32d 491	. . . . 5 ⊢ (A ∈ N → ((x ∈ N ∧ (A +N x) = B) ↔ (x ∈ N ∧ (A +o x) = B)))
12		elni2 3799	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ N ↔ (x ∈ ω ∧ ∅ ∈ x))
13	12	anbi1i 368	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ N ∧ (A +o x) = B) ↔ ((x ∈ ω ∧ ∅ ∈ x) ∧ (A +o x) = B))
14		anass 336	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ ω ∧ ∅ ∈ x) ∧ (A +o x) = B) ↔ (x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B)))
15	13, 14	bitr 151	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ (A +o x) = B) ↔ (x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B)))
16	11, 15	syl6bb 414	. . . 4 ⊢ (A ∈ N → ((x ∈ N ∧ (A +N x) = B) ↔ (x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B))))
17	16	biexdv 936	. . 3 ⊢ (A ∈ N → (∃x(x ∈ N ∧ (A +N x) = B) ↔ ∃x(x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B))))
18	17	adantr 306	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (∃x(x ∈ N ∧ (A +N x) = B) ↔ ∃x(x ∈ ω ∧ (∅ ∈ x ∧ (A +o x) = B))))
19	6, 7, 18	3bitr4d 424	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ ∃x(x ∈ N ∧ (A +N x) = B)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  ωcom 2372  (class class class)co 3001   +_o coa 3101  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   <_N clti 3769

This theorem is referenced by:  ltexpq 3874

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-ni 3794  df-pli 3795  df-lti 3797

metamath.org