Theorem ltexpq 3874

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexpq.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltexpq	⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃x(A +Q x) = B))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 2065	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ A <Q [⟨w, v⟩] ~Q ))
3		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = (A +Q x))
4	3	cleq1d 1109	. . . . 5 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
5	4	biexdv 936	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ∃x(A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
6	2, 5	imbi12d 474	. . 3 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q = A → (([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x(A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )))
7		breq2 2066	. . . 4 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (A <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ A <Q B))
8		cleq2 1110	. . . . 5 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (A +Q x) = B))
9	8	biexdv 936	. . . 4 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → (∃x(A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ∃x(A +Q x) = B))
10	7, 9	imbi12d 474	. . 3 ⊢ ([⟨w, v⟩] ~Q = B → ((A <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x(A +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ) ↔ (A <Q B → ∃x(A +Q x) = B)))
11		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ N ∧ v ∈ N) → (y ·N v) ∈ N)
12		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N) → (z ·N w) ∈ N)
13	11, 12	anim12i 268	. . . . . . 7 ⊢ (((y ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N))
14	13	an42s 391	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N))
15		ltexpi 3823	. . . . . 6 ⊢ (((y ·N v) ∈ N ∧ (z ·N w) ∈ N) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))))
16	14, 15	syl 12	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) ↔ ∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))))
17		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (y ∈ N ∧ z ∈ N))
18	17	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (y ∈ N ∧ z ∈ N))
19		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → u ∈ N)
20		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → z ∈ N)
21		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → v ∈ N)
22	20, 21	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ v ∈ N))
23	22	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ∈ N ∧ v ∈ N))
24		mulclpi 3815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ N ∧ v ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
25	23, 24	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ·N v) ∈ N)
26	19, 25	jca 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N))
27	18, 26	jca 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → ((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)))
28	27	adantrr 312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)))
29		addpipq 3848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (u ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
30	28, 29	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
31	20	ad2antll 320	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → z ∈ N)
32		addclpi 3814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((y ·N v) ∈ N ∧ u ∈ N) → ((y ·N v) +N u) ∈ N)
33		pm3.26 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → y ∈ N)
34	11, 33, 21	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (y ·N v) ∈ N)
35	32, 34	sylan 343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → ((y ·N v) +N u) ∈ N)
36	31, 35, 25	3jca 604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ u ∈ N) → (z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N))
37	36	adantrr 312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → (z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N))
38		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ z ∈ V
39		oprex 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ·N v) +N u) ∈ V
40		oprex 3018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ·N v) ∈ V
41	38, 39, 40	distrpqlem 3860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
42		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ y ∈ V
43		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ v ∈ V
44		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ x ∈ V
45		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ w ∈ V
46	44, 45	mulcompi 3818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (x ·N w) = (w ·N x)
47		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ u ∈ V
48	45, 47	mulasspi 3819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ·N w) ·N u) = (x ·N (w ·N u))
49	42, 38, 43, 46, 48	caopr12 3075	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ·N (z ·N v)) = (z ·N (y ·N v))
50	49	opreq1i 3009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u))
51		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y ·N v) ∈ V
52	51, 47	distrpi 3820	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ·N ((y ·N v) +N u)) = ((z ·N (y ·N v)) +N (z ·N u))
53	50, 52	eqtr4 1122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = (z ·N ((y ·N v) +N u))
54		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)) = (z ·N ((y ·N v) +N u)) → ⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩)
55	53, 54	ax-mp 6	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩
56		eceq2 3215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ = ⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩ → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q )
57	55, 56	ax-mp 6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨(z ·N ((y ·N v) +N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q
58	41, 57	syl5eq 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) ∈ N ∧ (z ·N v) ∈ N) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
59	37, 58	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N (z ·N v)) +N (z ·N u)), (z ·N (z ·N v))⟩] ~Q = [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q )
60		3anass 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ↔ (z ∈ N ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)))
61	60	biimpr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ N ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N))
62	61	adantll 309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N))
63	62	anim1i 269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
64	63	adantrl 311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)))
65		opeq1 1876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → ⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩ = ⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩)
66		eceq2 3215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩ = ⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩ → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q )
67	65, 66	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((y ·N v) +N u) = (z ·N w) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q )
68	38, 45, 43	distrpqlem 3860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) → [⟨(z ·N w), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
69	67, 68	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
70	64, 69	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → [⟨((y ·N v) +N u), (z ·N v)⟩] ~Q = [⟨w, v⟩] ~Q )
71	30, 59, 70	3eqtrd 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q )
72		enqex 3842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ~Q ∈ V
73		ecexg 3204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ~Q ∈ V → [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ V)
74	72, 73	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ∈ V
75		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → ([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ))
76	75	cleq1d 1109	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q → (([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ↔ ([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
77	74, 76	cla4ev 1401	. . . . . . . 8 ⊢ (([⟨y, z⟩] ~Q +Q [⟨u, (z ·N v)⟩] ~Q ) = [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )
78	71, 77	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) ∧ (u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w))) → ∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q )
79	78	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
80	79	19.23adv 954	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → (∃u(u ∈ N ∧ ((y ·N v) +N u) = (z ·N w)) → ∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
81	16, 80	sylbid 178	. . . 4 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((y ·N v) <N (z ·N w) → ∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
82	42, 38, 45, 43	ordpipq 3850	. . . 4 ⊢ ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q ↔ (y ·N v) <N (z ·N w))
83	81, 82	syl5ib 181	. . 3 ⊢ (((y ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ([⟨y, z⟩] ~Q <Q [⟨w, v⟩] ~Q → ∃x([⟨y, z⟩] ~Q +Q x) = [⟨w, v⟩] ~Q ))
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 3240	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B → ∃x(A +Q x) = B))
85		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +Q x) = B → ((A +Q x) ∈ Q ↔ B ∈ Q))
86		dmaddpq 3853	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
87		0npq 3844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
88	44, 86, 87	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A +Q x) ∈ Q → (A ∈ Q ∧ x ∈ Q))
89	88	pm3.27d 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +Q x) ∈ Q → x ∈ Q)
90	85, 89	syl6bir 188	. . . . . . 7 ⊢ ((A +Q x) = B → (B ∈ Q → x ∈ Q))
91		ltexpq.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ V
92	91, 44	ltaddpq 3873	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ Q ∧ x ∈ Q) → A <Q (A +Q x))
93	92	exp 291	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ Q → (x ∈ Q → A <Q (A +Q x)))
94	90, 93	syl9 55	. . . . . 6 ⊢ ((A +Q x) = B → (A ∈ Q → (B ∈ Q → A <Q (A +Q x))))
95	94	imp3a 279	. . . . 5 ⊢ ((A +Q x) = B → ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → A <Q (A +Q x)))
96		breq2 2066	. . . . 5 ⊢ ((A +Q x) = B → (A <Q (A +Q x) ↔ A <Q B))
97	95, 96	sylibd 177	. . . 4 ⊢ ((A +Q x) = B → ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → A <Q B))
98	97	com12 13	. . 3 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → ((A +Q x) = B → A <Q B))
99	98	19.23adv 954	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (∃x(A +Q x) = B → A <Q B))
100	84, 99	impbid 397	1 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q) → (A <Q B ↔ ∃x(A +Q x) = B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  [cec 3198  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   <_N clti 3769   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  ltexpq2 3875  ltbtwnpq 3878  prnmadd 3894  ltexprlem4 3939  ltexprlem7 3942

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837

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