Theorem ltexpri 3943

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexpri.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	⊢ (A<P B → ∃x(x ∈ P ∧ (A +P x) = B))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
2		ltrelpr 3895	. . 3 ⊢ <P ⊆ (P × P)
3	1, 2	brel 2459	. 2 ⊢ (A<P B → (A ∈ P ∧ B ∈ P))
4		ltprord 3928	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A<P B ↔ A ⊂ B))
5		opreq2 3007	. . . . . . . 8 ⊢ (x = {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)} → (A +P x) = (A +P {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)}))
6	5	cleq1d 1109	. . . . . . 7 ⊢ (x = {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)} → ((A +P x) = B ↔ (A +P {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)}) = B))
7	6	cla4egv 1397	. . . . . 6 ⊢ ({y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)} ∈ P → ((A +P {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)}) = B → ∃x(A +P x) = B))
8		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = z → (w +Q y) = (w +Q z))
9	8	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → ((w +Q y) ∈ B ↔ (w +Q z) ∈ B))
10	9	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → ((¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B) ↔ (¬ w ∈ A ∧ (w +Q z) ∈ B)))
11	10	biexdv 936	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → (∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B) ↔ ∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q z) ∈ B)))
12	11	cbvabv 1424	. . . . . . . 8 ⊢ {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)} = {z∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q z) ∈ B)}
13	12	ltexprlem5 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)} ∈ P)
14	13	adantll 309	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)} ∈ P)
15	12	ltexprlem6 3941	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → (A +P {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)}) ⊆ B)
16	12	ltexprlem7 3942	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → B ⊆ (A +P {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)}))
17	15, 16	eqssd 1518	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → (A +P {y∣∃w(¬ w ∈ A ∧ (w +Q y) ∈ B)}) = B)
18	7, 14, 17	sylc 62	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → ∃x(A +P x) = B)
19	18	exp 291	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A ⊂ B → ∃x(A +P x) = B))
20	4, 19	sylbid 178	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A<P B → ∃x(A +P x) = B))
21		eleq1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +P x) = B → ((A +P x) ∈ P ↔ B ∈ P))
22		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ x ∈ V
23		dmplp 3909	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +P = (P × P)
24		0npr 3890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
25	22, 23, 24	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A +P x) ∈ P → (A ∈ P ∧ x ∈ P))
26	25	pm3.27d 262	. . . . . . . 8 ⊢ ((A +P x) ∈ P → x ∈ P)
27	21, 26	syl6bir 188	. . . . . . 7 ⊢ ((A +P x) = B → (B ∈ P → x ∈ P))
28	27	com12 13	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ P → ((A +P x) = B → x ∈ P))
29	28	adantl 305	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((A +P x) = B → x ∈ P))
30	29	ancrd 247	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((A +P x) = B → (x ∈ P ∧ (A +P x) = B)))
31	30	19.22dv 947	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∃x(A +P x) = B → ∃x(x ∈ P ∧ (A +P x) = B)))
32	20, 31	syld 27	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (A<P B → ∃x(x ∈ P ∧ (A +P x) = B)))
33	3, 32	mpcom 49	1 ⊢ (A<P B → ∃x(x ∈ P ∧ (A +P x) = B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001   +_Q cplq 3775  Pcnp 3779   +_P cpp 3781  <_P cltp 3783

This theorem is referenced by:  ltaprlem 3944  recexsrlem 4006  mulgt0sr 4008  map2psrpr 4014

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-ltp 3884

metamath.org