Theorem ltexprlem2 3937

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem2	⊢ (B ∈ P → C ⊂ Q)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspsstr 1575	. 2 ⊢ ((C ⊆ B ∧ B ⊂ Q) → C ⊂ Q)
2		elprpq 3889	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (y +Q x) ∈ Q)
3		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ x ∈ V
4		dmaddpq 3853	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
5		0npq 3844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
6	3, 4, 5	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y +Q x) ∈ Q → (y ∈ Q ∧ x ∈ Q))
7	2, 6	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (y ∈ Q ∧ x ∈ Q))
8		prcdpq 3891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (x <Q (y +Q x) → x ∈ B))
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ y ∈ V
10	3, 9	ltaddpq 3873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) → x <Q (x +Q y))
11	10	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ Q ∧ x ∈ Q) → x <Q (x +Q y))
12	3, 9	addcompq 3856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x +Q y) = (y +Q x)
13	11, 12	syl6breq 2093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ Q ∧ x ∈ Q) → x <Q (y +Q x))
14	8, 13	syl5 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → ((y ∈ Q ∧ x ∈ Q) → x ∈ B))
15	7, 14	mpd 46	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → x ∈ B)
16	15	exp 291	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ P → ((y +Q x) ∈ B → x ∈ B))
17	16	adantld 307	. . . . 5 ⊢ (B ∈ P → ((¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → x ∈ B))
18	17	19.23adv 954	. . . 4 ⊢ (B ∈ P → (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → x ∈ B))
19		ltexprlem.1	. . . . 5 ⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}
20	19	cleqabi 1176	. . . 4 ⊢ (x ∈ C ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B))
21	18, 20	syl5ib 181	. . 3 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → x ∈ B))
22	21	ssrdv 1509	. 2 ⊢ (B ∈ P → C ⊆ B)
23		prpssnq 3888	. 2 ⊢ (B ∈ P → B ⊂ Q)
24	1, 22, 23	sylanc 361	1 ⊢ (B ∈ P → C ⊂ Q)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 3940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

metamath.org