Theorem ltexprlem3 3938

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem3	⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → ∀z(z <Q x → z ∈ C)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,z

Proof of Theorem ltexprlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (y +Q x) ∈ Q)
2		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ x ∈ V
3		dmaddpq 3853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
4		0npq 3844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
5	2, 3, 4	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y +Q x) ∈ Q → (y ∈ Q ∧ x ∈ Q))
6	5	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y +Q x) ∈ Q → y ∈ Q)
7		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ z ∈ V
8	7, 2	ltapq 3870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ Q → (z <Q x ↔ (y +Q z) <Q (y +Q x)))
9	1, 6, 8	3syl 21	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (z <Q x ↔ (y +Q z) <Q (y +Q x)))
10		prcdpq 3891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → ((y +Q z) <Q (y +Q x) → (y +Q z) ∈ B))
11	9, 10	sylbid 178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (z <Q x → (y +Q z) ∈ B))
12	11	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∈ P → ((y +Q x) ∈ B → (z <Q x → (y +Q z) ∈ B)))
13	12	com23 32	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ P → (z <Q x → ((y +Q x) ∈ B → (y +Q z) ∈ B)))
14	13	imp 277	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ P ∧ z <Q x) → ((y +Q x) ∈ B → (y +Q z) ∈ B))
15	14	anim2d 433	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ P ∧ z <Q x) → ((¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → (¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B)))
16	15	19.22dv 947	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ P ∧ z <Q x) → (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B)))
17		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}
18	17	cleqabi 1176	. . . . 5 ⊢ (x ∈ C ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B))
19		opreq2 3007	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → (y +Q x) = (y +Q z))
20	19	eleq1d 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → ((y +Q x) ∈ B ↔ (y +Q z) ∈ B))
21	20	anbi2d 468	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → ((¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) ↔ (¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B)))
22	21	biexdv 936	. . . . . 6 ⊢ (x = z → (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B)))
23	7, 22, 17	elab2 1419	. . . . 5 ⊢ (z ∈ C ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B))
24	16, 18, 23	3imtr4g 426	. . . 4 ⊢ ((B ∈ P ∧ z <Q x) → (x ∈ C → z ∈ C))
25	24	exp 291	. . 3 ⊢ (B ∈ P → (z <Q x → (x ∈ C → z ∈ C)))
26	25	com23 32	. 2 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → (z <Q x → z ∈ C)))
27	26	19.21adv 945	1 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → ∀z(z <Q x → z ∈ C)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 3940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-ltq 3836  df-np 3880

metamath.org