Theorem ltexprlem4 3939

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → ∃z(z ∈ C ∧ x <Q z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,z

Proof of Theorem ltexprlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 3893	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → ∃w(w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w))
2		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ w ∈ V
3		ltrelpq 3845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
4	2, 3	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((y +Q x) <Q w → ((y +Q x) ∈ Q ∧ w ∈ Q))
5	4	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y +Q x) <Q w → (y +Q x) ∈ Q)
6		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ x ∈ V
7		dmaddpq 3853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
8		0npq 3844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
9	6, 7, 8	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y +Q x) ∈ Q → (y ∈ Q ∧ x ∈ Q))
10	5, 9	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y +Q x) <Q w → (y ∈ Q ∧ x ∈ Q))
11		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ y ∈ V
12		ltsopq 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ <Q Or Q
13		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y +Q x) ∈ V
14	11, 12, 3, 13, 2	sotri 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y <Q (y +Q x) ∧ (y +Q x) <Q w) → y <Q w)
15	11, 6	ltaddpq 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ Q ∧ x ∈ Q) → y <Q (y +Q x))
16	14, 15	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((y ∈ Q ∧ x ∈ Q) ∧ (y +Q x) <Q w) → y <Q w)
17	10, 16	mpancom 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y +Q x) <Q w → y <Q w)
18	2, 3	brel 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y <Q w → (y ∈ Q ∧ w ∈ Q))
19	11	ltexpq 3874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((y ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (y <Q w ↔ ∃z(y +Q z) = w))
20	19	biimpd 135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((y ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (y <Q w → ∃z(y +Q z) = w))
21	18, 20	mpcom 49	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y <Q w → ∃z(y +Q z) = w)
22	17, 21	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y +Q x) <Q w → ∃z(y +Q z) = w)
23		cleqcom 1103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (w = (y +Q z) ↔ (y +Q z) = w)
24	23	biex 733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃z w = (y +Q z) ↔ ∃z(y +Q z) = w)
25	22, 24	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y +Q x) <Q w → ∃z w = (y +Q z))
26	25	ancri 245	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y +Q x) <Q w → (∃z w = (y +Q z) ∧ (y +Q x) <Q w))
27	26	anim2i 270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w) → (w ∈ B ∧ (∃z w = (y +Q z) ∧ (y +Q x) <Q w)))
28		an12 370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃z w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)) ↔ (w ∈ B ∧ (∃z w = (y +Q z) ∧ (y +Q x) <Q w)))
29	27, 28	sylibr 175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w) → (∃z w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)))
30		19.41v 963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃z(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)) ↔ (∃z w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)))
31	29, 30	sylibr 175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w) → ∃z(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)))
32	31	19.22i 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w(w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w) → ∃w∃z(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)))
33		excom 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃z∃w(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)) ↔ ∃w∃z(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)))
34	32, 33	sylibr 175	. . . . . . . 8 ⊢ (∃w(w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w) → ∃z∃w(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)))
35		oprex 3018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y +Q z) ∈ V
36		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = (y +Q z) → (w ∈ B ↔ (y +Q z) ∈ B))
37		breq2 2066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = (y +Q z) → ((y +Q x) <Q w ↔ (y +Q x) <Q (y +Q z)))
38	36, 37	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (w = (y +Q z) → ((w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w) ↔ ((y +Q z) ∈ B ∧ (y +Q x) <Q (y +Q z))))
39	35, 38	ceqsexv 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃w(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)) ↔ ((y +Q z) ∈ B ∧ (y +Q x) <Q (y +Q z)))
40		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ z ∈ V
41	6, 40	ltapq 3870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ Q → (x <Q z ↔ (y +Q x) <Q (y +Q z)))
42	6, 7, 3, 8, 41	ndmordi 3065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y +Q x) <Q (y +Q z) → x <Q z)
43	42	anim2i 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((y +Q z) ∈ B ∧ (y +Q x) <Q (y +Q z)) → ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z))
44	39, 43	sylbi 174	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)) → ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z))
45	44	19.22i 723	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z∃w(w = (y +Q z) ∧ (w ∈ B ∧ (y +Q x) <Q w)) → ∃z((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z))
46	1, 34, 45	3syl 21	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → ∃z((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z))
47	46	anim2i 270	. . . . . 6 ⊢ ((¬ y ∈ A ∧ (B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B)) → (¬ y ∈ A ∧ ∃z((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
48	47	an1s 372	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ P ∧ (¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)) → (¬ y ∈ A ∧ ∃z((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
49		19.42v 966	. . . . 5 ⊢ (∃z(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)) ↔ (¬ y ∈ A ∧ ∃z((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
50	48, 49	sylibr 175	. . . 4 ⊢ ((B ∈ P ∧ (¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)) → ∃z(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
51	50	exp 291	. . 3 ⊢ (B ∈ P → ((¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → ∃z(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z))))
52	51	19.22dv 947	. 2 ⊢ (B ∈ P → (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → ∃y∃z(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z))))
53		ltexprlem.1	. . 3 ⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}
54	53	cleqabi 1176	. 2 ⊢ (x ∈ C ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B))
55		opreq2 3007	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = z → (y +Q x) = (y +Q z))
56	55	eleq1d 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = z → ((y +Q x) ∈ B ↔ (y +Q z) ∈ B))
57	56	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → ((¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) ↔ (¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B)))
58	57	biexdv 936	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B)))
59	40, 58, 53	elab2 1419	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ C ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B))
60	59	anbi1i 368	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ C ∧ x <Q z) ↔ (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B) ∧ x <Q z))
61		anass 336	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B) ∧ x <Q z) ↔ (¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
62	61	biex 733	. . . . . 6 ⊢ (∃y((¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B) ∧ x <Q z) ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
63		19.41v 963	. . . . . 6 ⊢ (∃y((¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B) ∧ x <Q z) ↔ (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B) ∧ x <Q z))
64	62, 63	bitr3 153	. . . . 5 ⊢ (∃y(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)) ↔ (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q z) ∈ B) ∧ x <Q z))
65	60, 64	bitr4 154	. . . 4 ⊢ ((z ∈ C ∧ x <Q z) ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
66	65	biex 733	. . 3 ⊢ (∃z(z ∈ C ∧ x <Q z) ↔ ∃z∃y(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
67		excom 728	. . 3 ⊢ (∃y∃z(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)) ↔ ∃z∃y(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
68	66, 67	bitr4 154	. 2 ⊢ (∃z(z ∈ C ∧ x <Q z) ↔ ∃y∃z(¬ y ∈ A ∧ ((y +Q z) ∈ B ∧ x <Q z)))
69	52, 54, 68	3imtr4g 426	1 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → ∃z(z ∈ C ∧ x <Q z)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  ltexprlem5 3940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

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