Theorem ltexprlem5 3940

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem5	⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → C ∈ P)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . . 7 ⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}
2	1	ltexprlem1 3936	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ P → (A ⊂ B → ¬ C = ∅))
3		0pss 1730	. . . . . 6 ⊢ (∅ ⊂ C ↔ ¬ C = ∅)
4	2, 3	syl6ibr 186	. . . . 5 ⊢ (B ∈ P → (A ⊂ B → ∅ ⊂ C))
5	4	imp 277	. . . 4 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → ∅ ⊂ C)
6	1	ltexprlem2 3937	. . . . 5 ⊢ (B ∈ P → C ⊂ Q)
7	6	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → C ⊂ Q)
8	5, 7	jca 236	. . 3 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → (∅ ⊂ C ∧ C ⊂ Q))
9	1	ltexprlem3 3938	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → ∀z(z <Q x → z ∈ C)))
10	1	ltexprlem4 3939	. . . . . . 7 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → ∃z(z ∈ C ∧ x <Q z)))
11		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ C x <Q z ↔ ∃z(z ∈ C ∧ x <Q z))
12	10, 11	syl6ibr 186	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → ∃z ∈ C x <Q z))
13	9, 12	jcad 455	. . . . 5 ⊢ (B ∈ P → (x ∈ C → (∀z(z <Q x → z ∈ C) ∧ ∃z ∈ C x <Q z)))
14	13	r19.21aiv 1259	. . . 4 ⊢ (B ∈ P → ∀x ∈ C (∀z(z <Q x → z ∈ C) ∧ ∃z ∈ C x <Q z))
15	14	adantr 306	. . 3 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → ∀x ∈ C (∀z(z <Q x → z ∈ C) ∧ ∃z ∈ C x <Q z))
16	8, 15	jca 236	. 2 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → ((∅ ⊂ C ∧ C ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ C (∀z(z <Q x → z ∈ C) ∧ ∃z ∈ C x <Q z)))
17		elnp 3886	. 2 ⊢ (C ∈ P ↔ ((∅ ⊂ C ∧ C ⊂ Q) ∧ ∀x ∈ C (∀z(z <Q x → z ∈ C) ∧ ∃z ∈ C x <Q z)))
18	16, 17	sylibr 175	1 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → C ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊂ wpss 1488  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  ltexprlem6 3941  ltexprlem7 3942  ltexpri 3943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880

metamath.org