Theorem ltexprlem6 3941

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem6	⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → (A +P C) ⊆ B)

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-plp 3882	. . . . . 6 ⊢ +P = {⟨⟨z, v⟩, u⟩∣((z ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {f∣∃g ∈ z ∃h ∈ v f = (g +Q h)})}
2		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
3	1, 2	genpelv 3897	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (z ∈ (A +P C) ↔ ∃w∃x((w ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ z = (w +Q x))))
4		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}
5	4	ltexprlem5 3940	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → C ∈ P)
6	3, 5	sylan2 346	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ A ⊂ B)) → (z ∈ (A +P C) ↔ ∃w∃x((w ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ z = (w +Q x))))
7		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = (w +Q x) → (z ∈ B ↔ (w +Q x) ∈ B))
8	7	biimparc 327	. . . . . . . . 9 ⊢ (((w +Q x) ∈ B ∧ z = (w +Q x)) → z ∈ B)
9		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((A ∈ P ∧ w ∈ A) ∧ y ∈ Q) → (¬ y ∈ A → w <Q y))
10		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (y +Q x) ∈ Q)
11		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ x ∈ V
12		dmaddpq 3853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
13		0npq 3844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
14	11, 12, 13	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y +Q x) ∈ Q → (y ∈ Q ∧ x ∈ Q))
15	14	pm3.26d 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((y +Q x) ∈ Q → y ∈ Q)
16	10, 15	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → y ∈ Q)
17	9, 16	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A ∈ P ∧ w ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B)) → (¬ y ∈ A → w <Q y))
18	14	pm3.27d 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((y +Q x) ∈ Q → x ∈ Q)
19		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ w ∈ V
20		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ y ∈ V
21		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ v ∈ V
22	2, 21	ltapq 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (u ∈ Q → (z <Q v ↔ (u +Q z) <Q (u +Q v)))
23	2, 21	addcompq 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (z +Q v) = (v +Q z)
24	19, 20, 22, 11, 23	caoprord2 3071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (x ∈ Q → (w <Q y ↔ (w +Q x) <Q (y +Q x)))
25	10, 18, 24	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (w <Q y ↔ (w +Q x) <Q (y +Q x)))
26		prcdpq 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → ((w +Q x) <Q (y +Q x) → (w +Q x) ∈ B))
27	25, 26	sylbid 178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B) → (w <Q y → (w +Q x) ∈ B))
28	27	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((A ∈ P ∧ w ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B)) → (w <Q y → (w +Q x) ∈ B))
29	17, 28	syld 27	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((A ∈ P ∧ w ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ (y +Q x) ∈ B)) → (¬ y ∈ A → (w +Q x) ∈ B))
30	29	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ P ∧ w ∈ A) → (B ∈ P → ((y +Q x) ∈ B → (¬ y ∈ A → (w +Q x) ∈ B))))
31	30	com34 36	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ P ∧ w ∈ A) → (B ∈ P → (¬ y ∈ A → ((y +Q x) ∈ B → (w +Q x) ∈ B))))
32	31	imp4b 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∈ P ∧ w ∈ A) ∧ B ∈ P) → ((¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → (w +Q x) ∈ B))
33	32	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∈ P ∧ w ∈ A) ∧ B ∈ P) → (∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) → (w +Q x) ∈ B))
34	4	cleqabi 1176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ C ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B))
35	33, 34	syl5ib 181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∈ P ∧ w ∈ A) ∧ B ∈ P) → (x ∈ C → (w +Q x) ∈ B))
36	35	exp31 293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ P → (w ∈ A → (B ∈ P → (x ∈ C → (w +Q x) ∈ B))))
37	36	com23 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∈ P → (B ∈ P → (w ∈ A → (x ∈ C → (w +Q x) ∈ B))))
38	37	imp43 288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ (w ∈ A ∧ x ∈ C)) → (w +Q x) ∈ B)
39	8, 38	sylan 343	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ (w ∈ A ∧ x ∈ C)) ∧ z = (w +Q x)) → z ∈ B)
40	39	exp31 293	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → ((w ∈ A ∧ x ∈ C) → (z = (w +Q x) → z ∈ B)))
41	40	imp3a 279	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (((w ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ z = (w +Q x)) → z ∈ B))
42	41	19.23advv 955	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P) → (∃w∃x((w ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ z = (w +Q x)) → z ∈ B))
43	42	adantrr 312	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ A ⊂ B)) → (∃w∃x((w ∈ A ∧ x ∈ C) ∧ z = (w +Q x)) → z ∈ B))
44	6, 43	sylbid 178	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ A ⊂ B)) → (z ∈ (A +P C) → z ∈ B))
45	44	ssrdv 1509	. 2 ⊢ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ A ⊂ B)) → (A +P C) ⊆ B)
46	45	anassrs 338	1 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → (A +P C) ⊆ B)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779   +_P cpp 3781

This theorem is referenced by:  ltexpri 3943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882

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