Theorem ltexprlem7 3942

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem7	⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → B ⊆ (A +P C))

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y   x,C

Proof of Theorem ltexprlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpr 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → A<P (A +P C))
2		ltprord 3928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ P ∧ (A +P C) ∈ P) → (A<P (A +P C) ↔ A ⊂ (A +P C)))
3		addclpr 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (A +P C) ∈ P)
4	2, 3	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((A ∈ P ∧ (A ∈ P ∧ C ∈ P)) → (A<P (A +P C) ↔ A ⊂ (A +P C)))
5	4	anabss5 384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (A<P (A +P C) ↔ A ⊂ (A +P C)))
6	1, 5	mpbid 170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → A ⊂ (A +P C))
7	6	pssssd 1568	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → A ⊆ (A +P C))
8	7	sseld 1506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (w ∈ A → w ∈ (A +P C)))
9	8	a1d 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (w ∈ B → (w ∈ A → w ∈ (A +P C))))
10	9	a1d 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (B ∈ P → (w ∈ B → (w ∈ A → w ∈ (A +P C)))))
11	10	com4r 41	. . . . . . . . 9 ⊢ (w ∈ A → ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (B ∈ P → (w ∈ B → w ∈ (A +P C)))))
12	11	exp3a 292	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ A → (A ∈ P → (C ∈ P → (B ∈ P → (w ∈ B → w ∈ (A +P C))))))
13		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ w ∈ V
14	13	prnmadd 3894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ∈ P ∧ w ∈ B) → ∃v(w +Q v) ∈ B)
15		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((B ∈ P ∧ (w +Q v) ∈ B) → (w +Q v) ∈ Q)
16		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ v ∈ V
17		dmaddpq 3853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
18		0npq 3844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
19	16, 17, 18	ndmoprrcl 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((w +Q v) ∈ Q → (w ∈ Q ∧ v ∈ Q))
20	15, 19	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((B ∈ P ∧ (w +Q v) ∈ B) → (w ∈ Q ∧ v ∈ Q))
21		prlem934 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((A ∈ P ∧ v ∈ Q) → ∃z(z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A))
22		prub 3892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ w ∈ Q) → (¬ w ∈ A → z <Q w))
23		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ z ∈ V
24	23	ltexpq 3874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((z ∈ Q ∧ w ∈ Q) → (z <Q w ↔ ∃x(z +Q x) = w))
25		elprpq 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → z ∈ Q)
26	24, 25	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ w ∈ Q) → (z <Q w ↔ ∃x(z +Q x) = w))
27	22, 26	sylibd 177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((A ∈ P ∧ z ∈ A) ∧ w ∈ Q) → (¬ w ∈ A → ∃x(z +Q x) = w))
28	27	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((A ∈ P ∧ z ∈ A) → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ∃x(z +Q x) = w)))
29	28	adantlr 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ z ∈ A) → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ∃x(z +Q x) = w)))
30	29	adantrr 312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A)) → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ∃x(z +Q x) = w)))
31		df-plp 3882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ +P = {⟨⟨z, v⟩, u⟩∣((z ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ u = {f∣∃g ∈ z ∃h ∈ v f = (g +Q h)})}
32	31	genpprecl 3898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → ((z ∈ A ∧ x ∈ C) → (z +Q x) ∈ (A +P C)))
33		oprex 3018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (z +Q v) ∈ V
34		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (y = (z +Q v) → (y ∈ A ↔ (z +Q v) ∈ A))
35	34	negbid 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (y = (z +Q v) → (¬ y ∈ A ↔ ¬ (z +Q v) ∈ A))
36		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (y = (z +Q v) → (y +Q x) = ((z +Q v) +Q x))
37	36	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (y = (z +Q v) → ((y +Q x) ∈ B ↔ ((z +Q v) +Q x) ∈ B))
38	35, 37	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (y = (z +Q v) → ((¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B) ↔ (¬ (z +Q v) ∈ A ∧ ((z +Q v) +Q x) ∈ B)))
39	33, 38	cla4ev 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((¬ (z +Q v) ∈ A ∧ ((z +Q v) +Q x) ∈ B) → ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B))
40		ltexprlem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ C = {x∣∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B)}
41	40	cleqabi 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (x ∈ C ↔ ∃y(¬ y ∈ A ∧ (y +Q x) ∈ B))
42	39, 41	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((¬ (z +Q v) ∈ A ∧ ((z +Q v) +Q x) ∈ B) → x ∈ C)
43		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((z +Q x) = w → ((z +Q x) +Q v) = (w +Q v))
44		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ x ∈ V
45		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ f ∈ V
46		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ g ∈ V
47	45, 46	addcompq 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (f +Q g) = (g +Q f)
48		visset 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ h ∈ V
49	46, 48	addasspq 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((f +Q g) +Q h) = (f +Q (g +Q h))
50	23, 16, 44, 47, 49	caopr32 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((z +Q v) +Q x) = ((z +Q x) +Q v)
51	43, 50	syl5eq 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((z +Q x) = w → ((z +Q v) +Q x) = (w +Q v))
52	51	eleq1d 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((z +Q x) = w → (((z +Q v) +Q x) ∈ B ↔ (w +Q v) ∈ B))
53	52	biimpar 325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((z +Q x) = w ∧ (w +Q v) ∈ B) → ((z +Q v) +Q x) ∈ B)
54	42, 53	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ (z +Q v) ∈ A ∧ ((z +Q x) = w ∧ (w +Q v) ∈ B)) → x ∈ C)
55	32, 54	sylan2i 357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → ((z ∈ A ∧ (¬ (z +Q v) ∈ A ∧ ((z +Q x) = w ∧ (w +Q v) ∈ B))) → (z +Q x) ∈ (A +P C)))
56	55	exp4d 298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((A ∈ P ∧ C ∈ P) → (z ∈ A → (¬ (z +Q v) ∈ A → (((z +Q x) = w ∧ (w +Q v) ∈ B) → (z +Q x) ∈ (A +P C)))))
57	56	imp42 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A)) ∧ ((z +Q x) = w ∧ (w +Q v) ∈ B)) → (z +Q x) ∈ (A +P C))
58		eleq1 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((z +Q x) = w → ((z +Q x) ∈ (A +P C) ↔ w ∈ (A +P C)))
59	58	ad2antrl 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A)) ∧ ((z +Q x) = w ∧ (w +Q v) ∈ B)) → ((z +Q x) ∈ (A +P C) ↔ w ∈ (A +P C)))
60	57, 59	mpbid 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A)) ∧ ((z +Q x) = w ∧ (w +Q v) ∈ B)) → w ∈ (A +P C))
61	60	exp32 294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A)) → ((z +Q x) = w → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C))))
62	61	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A)) → (∃x(z +Q x) = w → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C))))
63	30, 62	syl6d 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((A ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A)) → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))
64	63	exp31 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (A ∈ P → (C ∈ P → ((z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A) → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))))
65	64	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (A ∈ P → ((z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A) → (C ∈ P → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))))
66	65	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (A ∈ P → (∃z(z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A) → (C ∈ P → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))))
67	66	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((A ∈ P ∧ v ∈ Q) → (∃z(z ∈ A ∧ ¬ (z +Q v) ∈ A) → (C ∈ P → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))))
68	21, 67	mpd 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((A ∈ P ∧ v ∈ Q) → (C ∈ P → (w ∈ Q → (¬ w ∈ A → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C))))))
69	68	com24 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((A ∈ P ∧ v ∈ Q) → (¬ w ∈ A → (w ∈ Q → (C ∈ P → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C))))))
70	69	exp 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (A ∈ P → (v ∈ Q → (¬ w ∈ A → (w ∈ Q → (C ∈ P → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))))
71	70	com14 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (w ∈ Q → (v ∈ Q → (¬ w ∈ A → (A ∈ P → (C ∈ P → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))))
72	71	imp4b 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → ((w +Q v) ∈ B → w ∈ (A +P C)))))
73	72	com4r 41	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((w +Q v) ∈ B → ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C)))))
74	73	com12 13	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((w +Q v) ∈ B → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C)))))
75	74	adantld 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((w ∈ Q ∧ v ∈ Q) → ((B ∈ P ∧ (w +Q v) ∈ B) → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C)))))
76	20, 75	mpcom 49	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((B ∈ P ∧ (w +Q v) ∈ B) → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C))))
77	76	exp 291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B ∈ P → ((w +Q v) ∈ B → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C)))))
78	77	19.23adv 954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (B ∈ P → (∃v(w +Q v) ∈ B → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C)))))
79	78	adantr 306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B ∈ P ∧ w ∈ B) → (∃v(w +Q v) ∈ B → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C)))))
80	14, 79	mpd 46	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ P ∧ w ∈ B) → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C))))
81	80	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (B ∈ P → (w ∈ B → ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → w ∈ (A +P C)))))
82	81	com4t 40	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ w ∈ A ∧ A ∈ P) → (C ∈ P → (B ∈ P → (w ∈ B → w ∈ (A +P C)))))
83	82	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ w ∈ A → (A ∈ P → (C ∈ P → (B ∈ P → (w ∈ B → w ∈ (A +P C))))))
84	12, 83	pm2.61i 110	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ P → (C ∈ P → (B ∈ P → (w ∈ B → w ∈ (A +P C)))))
85	40	ltexprlem5 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → C ∈ P)
86	84, 85	syl5 22	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ P → ((B ∈ P ∧ A ⊂ B) → (B ∈ P → (w ∈ B → w ∈ (A +P C)))))
87	86	exp3a 292	. . . . 5 ⊢ (A ∈ P → (B ∈ P → (A ⊂ B → (B ∈ P → (w ∈ B → w ∈ (A +P C))))))
88	87	com34 36	. . . 4 ⊢ (A ∈ P → (B ∈ P → (B ∈ P → (A ⊂ B → (w ∈ B → w ∈ (A +P C))))))
89	88	pm2.43d 59	. . 3 ⊢ (A ∈ P → (B ∈ P → (A ⊂ B → (w ∈ B → w ∈ (A +P C)))))
90	89	imp31 280	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → (w ∈ B → w ∈ (A +P C)))
91	90	ssrdv 1509	1 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P) ∧ A ⊂ B) → B ⊆ (A +P C))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   <_Q cltq 3778  Pcnp 3779   +_P cpp 3781  <_P cltp 3783

This theorem is referenced by:  ltexpri 3943

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-ltp 3884

metamath.org