Theorem ltmpi 3825

Description: Ordering property of multiplication for positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ltmpi.1	⊢ A ∈ V
ltmpi.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltmpi	⊢ (C ∈ N → (A <N B ↔ (C ·N A) <N (C ·N B)))

Proof of Theorem ltmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmpi.2	. 2 ⊢ B ∈ V
2		dmmulpi 3813	. 2 ⊢ dom ·N = (N × N)
3		ltmpi.1	. 2 ⊢ A ∈ V
4		ltrelpi 3811	. 2 ⊢ <N ⊆ (N × N)
5		0npi 3804	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ N
6		iba 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ C → (A ∈ B ↔ (A ∈ B ∧ ∅ ∈ C)))
7		nnmord 3189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → ((A ∈ B ∧ ∅ ∈ C) ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
8	6, 7	sylan9bbr 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) ∧ ∅ ∈ C) → (A ∈ B ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
9	8	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω ∧ C ∈ ω) → (∅ ∈ C → (A ∈ B ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
10	9	3exp 611	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ω → (B ∈ ω → (C ∈ ω → (∅ ∈ C → (A ∈ B ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B))))))
11	10	imp4b 283	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → ((C ∈ ω ∧ ∅ ∈ C) → (A ∈ B ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
12		elni2 3799	. . . . . . 7 ⊢ (C ∈ N ↔ (C ∈ ω ∧ ∅ ∈ C))
13	11, 12	syl5ib 181	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ω ∧ B ∈ ω) → (C ∈ N → (A ∈ B ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
14		pinn 3800	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ N → A ∈ ω)
15		pinn 3800	. . . . . 6 ⊢ (B ∈ N → B ∈ ω)
16	13, 14, 15	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (C ∈ N → (A ∈ B ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B))))
17	16	imp 277	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → (A ∈ B ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
18		ltpiord 3809	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))
19	18	adantr 306	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))
20		ltpiord 3809	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ·N A) ∈ N ∧ (C ·N B) ∈ N) → ((C ·N A) <N (C ·N B) ↔ (C ·N A) ∈ (C ·N B)))
21		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ N ∧ A ∈ N) → (C ·N A) ∈ N)
22		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ N ∧ B ∈ N) → (C ·N B) ∈ N)
23	20, 21, 22	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C ·N A) <N (C ·N B) ↔ (C ·N A) ∈ (C ·N B)))
24		mulpiord 3807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ N ∧ A ∈ N) → (C ·N A) = (C ·o A))
25	24	adantr 306	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → (C ·N A) = (C ·o A))
26		mulpiord 3807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ N ∧ B ∈ N) → (C ·N B) = (C ·o B))
27	26	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → (C ·N B) = (C ·o B))
28	25, 27	eleq12d 1157	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C ·N A) ∈ (C ·N B) ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
29	23, 28	bitrd 406	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ N ∧ A ∈ N) ∧ (C ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C ·N A) <N (C ·N B) ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
30	29	anandis 394	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ N ∧ (A ∈ N ∧ B ∈ N)) → ((C ·N A) <N (C ·N B) ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
31	30	ancoms 334	. . . 4 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → ((C ·N A) <N (C ·N B) ↔ (C ·o A) ∈ (C ·o B)))
32	17, 19, 31	3bitr4d 424	. . 3 ⊢ (((A ∈ N ∧ B ∈ N) ∧ C ∈ N) → (A <N B ↔ (C ·N A) <N (C ·N B)))
33	32	3impa 609	. 2 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N ∧ C ∈ N) → (A <N B ↔ (C ·N A) <N (C ·N B)))
34	1, 2, 3, 4, 5, 33	ndmord 3064	1 ⊢ (C ∈ N → (A <N B ↔ (C ·N A) <N (C ·N B)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  ωcom 2372  (class class class)co 3001   ·_o comu 3102  Ncnpi 3766   ·_N cmi 3768   <_N clti 3769

This theorem is referenced by:  ordpipq 3850  ltsopq 3869  ltapq 3870  ltmpq 3871  1lt2pq 3872  prlem934b 3932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797

metamath.org