Theorem ltmul1i 4393

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20.

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ A ∈ ℝ
ltmul1.2	⊢ B ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ C ∈ ℝ
ltmul1i.4	⊢ 0 < C

Assertion

Ref	Expression
ltmul1i	⊢ (A < B ↔ (A · C) < (B · C))

Proof of Theorem ltmul1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1i.4	. . 3 ⊢ 0 < C
2		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
3		ltmul1.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℝ
4		ltmul1.3	. . . 4 ⊢ C ∈ ℝ
5	2, 3, 4	ltmullem 4337	. . 3 ⊢ (0 < C → (A < B → (A · C) < (B · C)))
6	1, 5	ax-mp 6	. 2 ⊢ (A < B → (A · C) < (B · C))
7	4, 1	recgt0i 4385	. . . 4 ⊢ 0 < (1 / C)
8	2, 4	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (A · C) ∈ ℝ
9	3, 4	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (B · C) ∈ ℝ
10		ax1re 4064	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
11	4, 1	gt0ne0i 4345	. . . . . 6 ⊢ C ≠ 0
12	10, 4, 11	redivcl 4274	. . . . 5 ⊢ (1 / C) ∈ ℝ
13	8, 9, 12	ltmullem 4337	. . . 4 ⊢ (0 < (1 / C) → ((A · C) < (B · C) → ((A · C) · (1 / C)) < ((B · C) · (1 / C))))
14	7, 13	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ((A · C) < (B · C) → ((A · C) · (1 / C)) < ((B · C) · (1 / C)))
15	2	recn 4098	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℂ
16	4	recn 4098	. . . . 5 ⊢ C ∈ ℂ
17		1cn 4101	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
18	17, 16, 11	divcl 4221	. . . . 5 ⊢ (1 / C) ∈ ℂ
19	15, 16, 18	mulass 4109	. . . 4 ⊢ ((A · C) · (1 / C)) = (A · (C · (1 / C)))
20	16, 11	recid 4233	. . . . 5 ⊢ (C · (1 / C)) = 1
21	20	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ (A · (C · (1 / C))) = (A · 1)
22	15	mulid1 4114	. . . 4 ⊢ (A · 1) = A
23	19, 21, 22	3eqtr 1123	. . 3 ⊢ ((A · C) · (1 / C)) = A
24	3	recn 4098	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℂ
25	24, 16, 18	mulass 4109	. . . 4 ⊢ ((B · C) · (1 / C)) = (B · (C · (1 / C)))
26	20	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ (B · (C · (1 / C))) = (B · 1)
27	24	mulid1 4114	. . . 4 ⊢ (B · 1) = B
28	25, 26, 27	3eqtr 1123	. . 3 ⊢ ((B · C) · (1 / C)) = B
29	14, 23, 28	3brtr3g 2087	. 2 ⊢ ((A · C) < (B · C) → A < B)
30	6, 29	impbi 139	1 ⊢ (A < B ↔ (A · C) < (B · C))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032   < clt 4033   / cdiv 4091

This theorem is referenced by:  ltmul1 4394  ltdivi 4398  ltdiv23i 4412  sqrlem1 4731  sqr2irrlem1 4777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277

metamath.org