Theorem ltpiord 3809

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership.

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2065	. . 3 ⊢ (x = A → (x <N y ↔ A <N y))
2		eleq1 1149	. . 3 ⊢ (x = A → (x ∈ y ↔ A ∈ y))
3	1, 2	bibi12d 477	. 2 ⊢ (x = A → ((x <N y ↔ x ∈ y) ↔ (A <N y ↔ A ∈ y)))
4		breq2 2066	. . 3 ⊢ (y = B → (A <N y ↔ A <N B))
5		eleq2 1150	. . 3 ⊢ (y = B → (A ∈ y ↔ A ∈ B))
6	4, 5	bibi12d 477	. 2 ⊢ (y = B → ((A <N y ↔ A ∈ y) ↔ (A <N B ↔ A ∈ B)))
7		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
8	7	opelxp 2452	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (N × N) ↔ (x ∈ N ∧ y ∈ N))
9		iba 486	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (N × N) → (⟨x, y⟩ ∈ E ↔ (⟨x, y⟩ ∈ E ∧ ⟨x, y⟩ ∈ (N × N))))
10		df-br 2063	. . . . . 6 ⊢ (xEy ↔ ⟨x, y⟩ ∈ E)
11		epel 2124	. . . . . 6 ⊢ (xEy ↔ x ∈ y)
12	10, 11	bitr3 153	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ E ↔ x ∈ y)
13	9, 12	syl5bbr 412	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (N × N) → (x ∈ y ↔ (⟨x, y⟩ ∈ E ∧ ⟨x, y⟩ ∈ (N × N))))
14		df-br 2063	. . . . 5 ⊢ (x <N y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ <N )
15		df-lti 3797	. . . . . 6 ⊢ <N = (E ∩ (N × N))
16	15	eleq2i 1153	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ <N ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (E ∩ (N × N)))
17		elin 1635	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (E ∩ (N × N)) ↔ (⟨x, y⟩ ∈ E ∧ ⟨x, y⟩ ∈ (N × N)))
18	14, 16, 17	3bitr 155	. . . 4 ⊢ (x <N y ↔ (⟨x, y⟩ ∈ E ∧ ⟨x, y⟩ ∈ (N × N)))
19	13, 18	syl6rbbr 417	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (N × N) → (x <N y ↔ x ∈ y))
20	8, 19	sylbir 176	. 2 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x <N y ↔ x ∈ y))
21	3, 6, 20	vtocl2ga 1388	1 ⊢ ((A ∈ N ∧ B ∈ N) → (A <N B ↔ A ∈ B))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  Ecep 2056   × cxp 2408  Ncnpi 3766   <_N clti 3769

This theorem is referenced by:  ltsopi 3810  ltexpi 3823  ltapi 3824  ltmpi 3825  1lt2pi 3826  nlt1pi 3827  indpi 3828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-xp 2424  df-lti 3797

metamath.org