Theorem ltpsrpr 4013

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals.

Hypotheses

Ref	Expression
ltpsrpr.1	⊢ A ∈ V
ltpsrpr.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ltpsrpr	⊢ ([⟨(A +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(B +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ A<P B)

Proof of Theorem ltpsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpsrpr.1	. . . 4 ⊢ A ∈ V
2		1pr 3911	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
3	2	elisseti 1355	. . . 4 ⊢ 1P ∈ V
4	1, 3	addcompr 3917	. . 3 ⊢ (A +P 1P) = (1P +P A)
5		ltpsrpr.2	. . . 4 ⊢ B ∈ V
6	5, 3	addcompr 3917	. . 3 ⊢ (B +P 1P) = (1P +P B)
7	4, 6	breq12i 2070	. 2 ⊢ ((A +P 1P)<P (B +P 1P) ↔ (1P +P A)<P (1P +P B))
8		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (A +P 1P) ∈ V
9	8, 3	addcompr 3917	. . . 4 ⊢ ((A +P 1P) +P 1P) = (1P +P (A +P 1P))
10	9	breq1i 2068	. . 3 ⊢ (((A +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (B +P 1P)) ↔ (1P +P (A +P 1P))<P (1P +P (B +P 1P)))
11		oprex 3018	. . . 4 ⊢ (B +P 1P) ∈ V
12	8, 3, 11, 3	ltsrpr 3980	. . 3 ⊢ ([⟨(A +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(B +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ ((A +P 1P) +P 1P)<P (1P +P (B +P 1P)))
13	8, 11	ltapr 3945	. . . 4 ⊢ (1P ∈ P → ((A +P 1P)<P (B +P 1P) ↔ (1P +P (A +P 1P))<P (1P +P (B +P 1P))))
14	2, 13	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ((A +P 1P)<P (B +P 1P) ↔ (1P +P (A +P 1P))<P (1P +P (B +P 1P)))
15	10, 12, 14	3bitr4 158	. 2 ⊢ ([⟨(A +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(B +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ (A +P 1P)<P (B +P 1P))
16	1, 5	ltapr 3945	. . 3 ⊢ (1P ∈ P → (A<P B ↔ (1P +P A)<P (1P +P B)))
17	2, 16	ax-mp 6	. 2 ⊢ (A<P B ↔ (1P +P A)<P (1P +P B))
18	7, 15, 17	3bitr4 158	1 ⊢ ([⟨(A +P 1P), 1P⟩] ~R <R [⟨(B +P 1P), 1P⟩] ~R ↔ A<P B)

Syntax hints:   ↔ wb 127   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  [cec 3198  Pcnp 3779  1_Pc1p 3780   +_P cpp 3781  <_P cltp 3783   ~_R cer 3786   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  suppsr 4016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-enr 3960  df-nr 3961  df-ltr 3964

metamath.org