Theorem ltrelpq 3845

Description: Positive fraction 'less than' is a relation on positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
ltrelpq	⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Proof of Theorem ltrelpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltq 3836	. 2 ⊢ <Q = {⟨x, y⟩∣((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = [⟨z, w⟩] ~Q ∧ y = [⟨v, u⟩] ~Q ) ∧ (z ·N u) <N (w ·N v)))}
2		opabssxp 2468	. 2 ⊢ {⟨x, y⟩∣((x ∈ Q ∧ y ∈ Q) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = [⟨z, w⟩] ~Q ∧ y = [⟨v, u⟩] ~Q ) ∧ (z ·N u) <N (w ·N v)))} ⊆ (Q × Q)
3	1, 2	eqsstr 1530	1 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  {copab 2055   × cxp 2408  (class class class)co 3001  [cec 3198   ·_N cmi 3768   <_N clti 3769   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   <_Q cltq 3778

This theorem is referenced by:  ordpipq 3850  ltapq 3870  ltmpq 3871  ltbtwnpq 3878  ltrpq 3879  prcdpq 3891  prnmadd 3894  genpcd 3903  1pr 3911  1idpr 3927  prlem934 3933  ltexprlem4 3939  prlem936 3949  reclem2pr 3951  reclem3pr 3952  reclem4pr 3953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424  df-ltq 3836

metamath.org