Theorem ltrelsr 3974

Description: Signed real 'less than' is a relation on signed reals.

Assertion

Ref	Expression
ltrelsr	⊢ <R ⊆ (R × R)

Proof of Theorem ltrelsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltr 3964	. 2 ⊢ <R = {⟨x, y⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = [⟨z, w⟩] ~R ∧ y = [⟨v, u⟩] ~R ) ∧ (z +P u)<P (w +P v)))}
2		opabssxp 2468	. 2 ⊢ {⟨x, y⟩∣((x ∈ R ∧ y ∈ R) ∧ ∃z∃w∃v∃u((x = [⟨z, w⟩] ~R ∧ y = [⟨v, u⟩] ~R ) ∧ (z +P u)<P (w +P v)))} ⊆ (R × R)
3	1, 2	eqsstr 1530	1 ⊢ <R ⊆ (R × R)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  {copab 2055   × cxp 2408  (class class class)co 3001  [cec 3198   +_P cpp 3781  <_P cltp 3783   ~_R cer 3786  Rcnr 3787   <_R cltr 3793

This theorem is referenced by:  ltsrpr 3980  ltasr 4003  recexsrlem 4006  addgt0sr 4007  mulgt0sr 4008  map2psrpr 4014  suppsr2 4017  suppsr3 4018  ltresr 4052  ltsor 4055

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-opab 2098  df-xp 2424  df-ltr 3964

metamath.org