Theorem ltsopi 3810

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering.

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	⊢ <N Or N

Proof of Theorem ltsopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri2 2233	. . . . . 6 ⊢ ((Ord x ∧ Ord y) → (x ∈ y ↔ ¬ (x = y ∨ y ∈ x)))
2		piord 3802	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ N → Ord x)
3		piord 3802	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ N → Ord y)
4	1, 2, 3	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x ∈ y ↔ ¬ (x = y ∨ y ∈ x)))
5		ltpiord 3809	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x <N y ↔ x ∈ y))
6		ltpiord 3809	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ N ∧ x ∈ N) → (y <N x ↔ y ∈ x))
7	6	ancoms 334	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (y <N x ↔ y ∈ x))
8	7	orbi2d 466	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → ((x = y ∨ y <N x) ↔ (x = y ∨ y ∈ x)))
9	8	negbid 463	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (¬ (x = y ∨ y <N x) ↔ ¬ (x = y ∨ y ∈ x)))
10	4, 5, 9	3bitr4d 424	. . . 4 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N) → (x <N y ↔ ¬ (x = y ∨ y <N x)))
11	10	3adant3 599	. . 3 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → (x <N y ↔ ¬ (x = y ∨ y <N x)))
12		3simp3 596	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → z ∈ N)
13		pion 3801	. . . . 5 ⊢ (z ∈ N → z ∈ On)
14		ontr1 2258	. . . . 5 ⊢ (z ∈ On → ((x ∈ y ∧ y ∈ z) → x ∈ z))
15	12, 13, 14	3syl 21	. . . 4 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → ((x ∈ y ∧ y ∈ z) → x ∈ z))
16	5	3adant3 599	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → (x <N y ↔ x ∈ y))
17		ltpiord 3809	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ N ∧ z ∈ N) → (y <N z ↔ y ∈ z))
18	17	3adant1 597	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → (y <N z ↔ y ∈ z))
19	16, 18	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → ((x <N y ∧ y <N z) ↔ (x ∈ y ∧ y ∈ z)))
20		ltpiord 3809	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ z ∈ N) → (x <N z ↔ x ∈ z))
21	20	3adant2 598	. . . 4 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → (x <N z ↔ x ∈ z))
22	15, 19, 21	3imtr4d 421	. . 3 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → ((x <N y ∧ y <N z) → x <N z))
23	11, 22	jca 236	. 2 ⊢ ((x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ z ∈ N) → ((x <N y ↔ ¬ (x = y ∨ y <N x)) ∧ ((x <N y ∧ y <N z) → x <N z)))
24	23	so 2152	1 ⊢ <N Or N

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∨ wo 195   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = weq 797   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092   class class class wbr 2054   Or wor 2059  Ord word 2198  Oncon0 2199  Ncnpi 3766   <_N clti 3769

This theorem is referenced by:  indpi 3828  ltsopq 3869  prlem934b 3932

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-om 2373  df-xp 2424  df-ni 3794  df-lti 3797

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