Theorem ltsopr 3930

Description: Positive real 'less than' is a strict ordering. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
ltsopr	⊢ <P Or P

Proof of Theorem ltsopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pssirr 1570	. . . 4 ⊢ ¬ x ⊂ x
2		ltprord 3928	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ x ∈ P) → (x<P x ↔ x ⊂ x))
3	1, 2	mtbiri 539	. . 3 ⊢ ((x ∈ P ∧ x ∈ P) → ¬ x<P x)
4	3	anidms 332	. 2 ⊢ (x ∈ P → ¬ x<P x)
5		psstr 1574	. . 3 ⊢ ((x ⊂ y ∧ y ⊂ z) → x ⊂ z)
6		ltprord 3928	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → (x<P y ↔ x ⊂ y))
7	6	3adant3 599	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ z ∈ P) → (x<P y ↔ x ⊂ y))
8		ltprord 3928	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y<P z ↔ y ⊂ z))
9	8	3adant1 597	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y<P z ↔ y ⊂ z))
10	7, 9	anbi12d 476	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ z ∈ P) → ((x<P y ∧ y<P z) ↔ (x ⊂ y ∧ y ⊂ z)))
11		ltprord 3928	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ P ∧ z ∈ P) → (x<P z ↔ x ⊂ z))
12	11	3adant2 598	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ z ∈ P) → (x<P z ↔ x ⊂ z))
13	10, 12	imbi12d 474	. . 3 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ z ∈ P) → (((x<P y ∧ y<P z) → x<P z) ↔ ((x ⊂ y ∧ y ⊂ z) → x ⊂ z)))
14	5, 13	mpbiri 169	. 2 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P ∧ z ∈ P) → ((x<P y ∧ y<P z) → x<P z))
15		psslinpr 3929	. . 3 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → (x ⊂ y ∨ x = y ∨ y ⊂ x))
16		pm4.2i 149	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → (x = y ↔ x = y))
17		ltprord 3928	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ P ∧ x ∈ P) → (y<P x ↔ y ⊂ x))
18	17	ancoms 334	. . . 4 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → (y<P x ↔ y ⊂ x))
19	6, 16, 18	bi3ord 635	. . 3 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → ((x<P y ∨ x = y ∨ y<P x) ↔ (x ⊂ y ∨ x = y ∨ y ⊂ x)))
20	15, 19	mpbird 171	. 2 ⊢ ((x ∈ P ∧ y ∈ P) → (x<P y ∨ x = y ∨ y<P x))
21	4, 14, 20	itlso 2151	1 ⊢ <P Or P

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∨ w3o 580   ∧ w3a 581   = weq 797   ∈ wcel 1092   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054   Or wor 2059  Pcnp 3779  <_P cltp 3783

This theorem is referenced by:  ltapr 3945  addcanpr 3946  suplem2pr 3956  ltsosr 3997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-mi 3796  df-lti 3797  df-enq 3831  df-nq 3832  df-ltq 3836  df-np 3880  df-ltp 3884

metamath.org